О локализации энергии: в самом поле носителем энергии является само поле. Убедимся в этом на примере плоского конденсатора, пренебрегая краевым эффектом. Подстановка в формулу W = CU 2 /2 выражения С = εε 0 S/h дает W=CU 2 /2=εε 0 SU 2 /2h=½εε 0 (U/h) 2 Sh. Апоскольку U/h = E и Sh = V (объем между обкладками кон­денсатора), то W=(εε 0 E 2 /2)V=(ED/2)V(4.8).

Полученная формула справедлива для однородного поля, за­полняющего объем V. В случае неоднородного поля энергия Wдля изотропныхдиэлектриков определяется формулой

Подынтегральное выражение в этом уравнении имеет смысл энергии, заключенной в объеме dV. Из последних двух формул следует, что электрическая энергия распределена в пространстве с объемной плотностью w =εε 0 E 2 /2=ED/2(4.10). Эта формула справедлива только в случае изотропногодиэлектрика, для которого выполняется соотно­шение D = εε 0 е.

Работа поля при поляризации диэлектрика .При одном и том же значении Е величина w при наличии диэлектрика оказывается в ε раз больше, чем при отсутствии диэлектрика. Под энергией поля в диэлектрике следует понимать всю энергию, которую нужно затратить на возбуждение электрического поля, а она складывается из собственной электрической энергии и той дополнительной работы, которая совершается при поляризации диэлектрика. Чтобы в этом убедиться, подставим в (4.10) вместо D величи­ну ε 0 Е + Р, тогда w =ε 0 E 2 /2+EP/2 (4.11). Первое слагаемое здесь совпадает с плотностью энергии поля E в вакууме. Подсчитаем работу, которую совершает электрическое поле на поляризацию единицы объема диэлектрика, т. е. на смещение зарядов р" + и р"_ соответственно по и против поля - при возрастании напряженности от Е до Е + dE. Пренебрегая членами второго порядка малости: д А=ρ’ + Edl + +ρ’ – Edl_ ,где dl + и dl_ - дополнительные смещения при увеличении поля наdE. Учитывая, что

р"_=–р" + , получаем д А=ρ’ + (dl + –dl_)E=ρ’ + dl E, где dl=dl + -dl_- дополнительное смещение положительных за­рядов относительно отрицательных. p" + dl = EdP, и δA = EdP. (4.12). Так как Р = χε 0 Е, то

Отсюда вся работа на поляризацию единицы объема диэлек­трика A=EP/2 (4.13), что совпадает со вторым слагаемым формулы (4.11).Т. о., объемная плотность энергии w= ED/2 вклю­чает в себя собственную энергию поля ε 0 E 2 /2 и энергию ЕР/2, связанную с поляризацией вещества.

Система двух заряженных тел. Представим систему из двух заряженных тел в вакууме. Пусть одно тело создает в окружающем пространстве поле e 1; a другое - поле Е 2 . Результирующее поле Е = Е 1 + Е 2 и квадрат этой величины Е 2 = Е 2 1 + Е 2 2 +2E 1 E 2 . Поэтому полная энергия Wданной системы согласно (4.9) равна сумме трех интегралов:

(4.14). Первые два интеграла в (4.14) пред­ставляют собой собственную энергию первого и второго заряженных тел (W 1 и W 2), последний интеграл - энергию их взаимодействия (W 12)-

Силы при наличии диэлектрика. Электрострикция. На диэлектрик в электрическом поле действуют пондермоторные силы. Эти силы возникают и в тех случаях, когда диэлектрик в целом не заряжен. Причиной их возникновения является действие неоднородного электрического поля на дипольные молекулы поляризованного диэлектрика (как известно, на диполи в неоднородном электрическом поле действует сила, направленная в сторону возрастания данного поля). Причем эти силы обусловлены неоднородностью не только макрополя, но и микрополя, создаваемого в основном ближайшими молекулами поляризованного диэлектрика. Под действием указанных электрических сил поляризованный диэлектрик деформируется. Это явление называют электрострикацией

Силы в жидком диэлектрике . Сила взаимодействия обкладок плоского конденсатора в жидком диэлектрике в е раз меньше, чем в вакууме (где ε = 1). Этот результат можно обобщить: при заполнении всего пространства, где есть элект­рическое поле, жидким или газообразным диэлектриком силы взаимодействия между заряженными проводниками (при неиз­менных зарядах на них) уменьшаются в е раз: F = F 0 /ε . (4.17)=>два точечных заряда q 1 и q 2 , находящи­еся на расстоянии г друг от друга внутри безграничного жидко­го или газообразного диэлектрика, взаимодействуют с силой F=|q 1 q 2 |/4πεε 0 r 2 (4.18), т. е. тоже в ε раз меньшей, чем в вакууме. Эта формула выра­жает закон Кулона для точечных зарядов в безграничном диэ­лектрике.В однородном жидком или газообразном диэлектрике, заполняющем все пространство, где есть поле, как напряженность Е, так и сила F, действующая на точечный заряд q, в ε раз меньше Е 0 и F 0 при отсутствии диэлектрика. А это значит, что сила F, действующая на точечный заряд q, определяется в этом случае такой же формулой, как и в вакууме: F = qE, (4.19), где E - напряженность поля в диэлектрике в том месте, куда помешают сторонний заряд q. Только в этом случае по силе F формула (4.19) позволяет определить поле Е в диэлектрике. Следует обратить внимание, что на сам сторонний заряд - он сосредоточен на каком-то небольшом теле - будет действовать другое поле - не то, что в самом диэлектрике.

Постоянный электрический ток. Плотность тока. Уравнение непрерывности. Закон Ома для однородного проводника. Избыточный заряд внутри однородного проводника с током. Электрическое поле проводника с током.

Носителями тока в проводящей среде могут быть электроны, ионы, или другие части­цы. При отсутствии электрического поля носители тока совершают хаотическое движение, и через любую по­верхность S проходит в обе стороны в среднем одинаковое чис­ло носителей того и другого знака, так что ток через поверхность S равен нулю. При включении же электрического поля на хаотическое движение носителей накладывается упо­рядоченное движение с некоторой средней скоростью u и через поверхность S появится ток. Т. о., электрический ток - это упорядоченный перенос электрических зарядов. Количественной мерой электрического тока служит сила тока I, т. е. заряд, переносимый сквозь рассматриваемую по­верхность S в единицу времени: I = dq/dt[A]. Ток может быть распределен по поверхности, через которую он протекает, неравномерно. Поэтому для более детальной характеристики тока вводят век­тор плотности тока j. Модуль этого вектора численно равен от­ношению силы тока dI через элементарную площадку, расположенную в данной точке перпендикулярно направлению движе­ния носителей, к ее площади dS ┴ : j = dI/dS ┴ . За направление вектора j принимают направление вектора скорости и упорядо­ченного движения положительных носителей. Если носителя­ми являются как положительные, так и отрицательные заряды, то плотность тока определяется ф–лой

j=p + u + + p_u_,(5.1), где р + и р_ - объемные плотности положительного и отрицате­льного зарядов-носителей; u + и u_ - скорости их упорядочен­ного движения. В проводниках же, где носителями являются только электроны (р_< 0 и u + = 0), плотность тока j = ρ_u_(5.2). Зная вектор плотности тока в каждой точке поверхности S,можно найти и силу тока через эту поверх­ность как поток вектора j: I=∫jdS (5.3)

Уравнение непрерывности. Представим в некоторой проводящей среде, где течет ток, замкнутую поверхность S. Для замкнутых поверхностей векторы нормалей, а следовате­льно, и векторы dS принято брать наружу, поэтому интеграл ∮jdSдает заряд, выходящий в единицу времени наружу из объ­ема V, охватываемого поверхностью S. В силу закона сохране­ния заряда этот интеграл равен убыли заряда в единицу времени внутри объема V:

∮jdS= –dq/dt; ∮jdS=0 (5.4) Это уравнение непрерывности. В случае постоянного тока распределение зарядов в пространстве должно оставаться неизменным, т. е. в правой части dq/dt = 0. Преобразу­ем последние два уравнения к дифференциальной форме. Для этого представим заряд q как jρdF и правую часть (5.4) как

Здесь взят знак частной производной р по времени, поскольку р может зависеть не только от времени, но и от координат. Итак,

Получим, что дивергенция вектора j в некоторой точке равна убыли плотности заряда в единицу времени в той же точке:Ñ . j=–д ρ/д t. (5.6). Отсюда вытекает условие стационарности(когда д ρ/д t=0): Ñ . j=0.(5.7)

Оно означает, что в случае постоянного тока поле вектора j не име­ет источников.

Закон Ома для однородного проводника. Cила тока, протекающего по однородному проводнику, пропорциональна разности потенциалов на его концах (напряжению U): I = U/R (5.8), где R - электрическое сопротивление проводника.

Закон Ома в локальной форме . Если поперечное сечение цилиндра dS, а его длина dl, то на основа­нии (5.8) и (5.9) можно записать для такого элементарного цилиндра jdS=Edl/(ρdl/dS)=E/ρ=σE, где σ=1/р - удельная электропроводимость среды. Т. о., соотношение (5.10) устанавливает связь между величинами, относящимися к одной и той же точке про­водящей среды.

О заряде внутри проводника с током. Если ток постоянный, то избыточный заряд внутри однородного проводника всюду равен нулю. В самом деле, для постоянного тока справедливо уравнение (5.5). Перепишем его с учетом закона (5.10) в виде ∮σEdS=0, где интеграл взят по произвольной замкнутой поверхности S внутрипроводника. Для однородного проводника величину а можно вынести из-под интеграла: σ∮EdS=0. Оставшийся интеграл согласно теореме Гаусса пропорциона­лен алгебраической сумме зарядов внутри замкнутой поверхно­сти S, т. е. пропорционален избыточному заряду внутри этой поверхности. Но из последнего равенства видно, что этот интеграл равен нулю (т.к. σ≠0), а значит, равен нулю и избы­точный заряд. В силу произвольности поверхности S: избыточный заряд всюду внутри про­водника равен нулю.

Электрическое поле проводника с током . При протека­нии тока на поверхности проводника (область неоднородности) выступает избыточный заряд, а это означает, что снаружи проводника имеется нормальная составляющая вектора Е. Далее, из непре­рывности тангенциальной составляющей вектора Е приходим к выводу о нали­чии и тангенциальной составляющей этого вектора вблизи поверхности проводника. Таким образом, вектор Е вблизи поверхно­сти проводника составляет (при наличии тока) с нормалью к ней некоторый не рав­ный нулю угол. Если токи стационарны, то распределение электриче­ских зарядов в проводящей среде не меняется во времени, хотя и происходит движение за­рядов: в каждой точке на место уходящих зарядов непрерывно поступают новые. Эти движущиеся заряды создают такое же кулоновское поле, что и неподвижные заряды той же конфигу­рации. Стало быть, электрическое поле стационарных токов - поле потенциальное. Кулоновское поле внутри про­водников при равновесии зарядов равно нулю. Электрическое поле у стационарных токов есть также кулоновское поле, одна­ко заряды, его возбуждающие, находятся в движении. Поэтому поле Е у стационарных токов существует и внутри проводников с током.

Энергия заряженных тел, в конечном счете, представляет собой силу взаимодействия между двумя телами. Выходит, что одно заряженное тело не обладает энергией? На самом деле это не так энергией оно обладает, но определить наличие этой энергии, не возможно не имея второго тела обладающего зарядом.

Скажем, к примеру, если мы имеем материальную точку имеющую заряд +q. Эта точка находится в вакууме, и поблизости её нет никаких других зарядов. В такой системе, не будет наблюдаться не каких изменений энергии. Ничего никуда не будет двигаться.

Рисунок 1 — точечный заряд

Но как только мы поместим по близости другую материальную точку с зарядом -q тут же возникнут силы взаимодействия между ними. Заряды, так как они разноименные будут стремиться друг к другу. И если им не чего не помешает, в итоге они скомпенсируют друг друга. В результате в системе произойдут некоторые изменения энергии.

Допустим внеся, заря -q мы также введем некую противодействующую силу, которая не даст нашим зарядам скомпенсировать друг друга. То в этом случае наша система будет обладать энергией в явном виде. В виде силы притяжения между зарядами.

Рисунок 2 — взаимодействие двух точечных зарядов

Если отойти от абстракции с “некоторыми” зарядами и силами, то у нас получится совершенно обычный плоский конденсатор. У которого имеются разноименно заряженные обкладки, а силу противодействия представляет диэлектрик между ними, не дающий нашему конденсатору разрядится.

Рисунок 3 — заряженный конденсатор

Энергия же заряженного конденсатора общеизвестна и имеет вид:

Формула 1 — энергия заряженного конденсатора

Величина силы в таком случае будет зависеть от величины зарядов и от расстояния, на котором они находятся. Ну, с величиной заряда как бы все понятно. Чем больше заряд, тем больше сила. По аналогии с механикой, чем больше сковородка, тем больнее будет, когда она упадет на ногу.

А вот с расстоянием не совсем все понятно. Используя все туже механику для упрощения понимания. Представьте, что Вы поднимаете стул, на котором вы сейчас сидите. Не забудьте при этом с него встать. При этом Вы находитесь на поверхности земли и прилагаете некоторые усилия в зависимости от массы этого самого стула. Масса в данном случае аналог заряда. Строго говоря, все это не обязательно представлять Вы можете все это проделать, преодолев свою природную лень.

Далее находясь на орбите земли, скажем на МКС МИР. Вы проделываете те же действия, то есть встаете со стула и поднимете его. Усилие потребуется значительно меньше, так как Вы находитесь далеко от земли и ее притяжение значительно слабее. То есть сила взаимодействия между землей и стулом зависит от расстояния между ними. А вот здесь Вам потребуется Ваше воображение и не только потому что упомянутая МКС затоплена в океане но и потому что побывать на орбите только для того чтобы проверить правдивость данной статьи событие весьма мало вероятное. Также и в конденсаторе сила взаимодействия зависит от расстояния, на котором находятся заряды.

Для того чтобы зарядить конденсатор, т. е. создать некоторую разность потенциалов между двумя телами – обкладками конденсатора, нужно затратить некоторую работу. Это связано с тем, что процесс зарядки тела, как мы говорили в § 5, означает всегда разделение зарядов, т. е. создание на одном теле избытка зарядов одного знака, а на другом теле – другого знака. При этом приходится преодолевать силы притяжения друг к другу положительных и отрицательных зарядов, т. е. затрачивать работу. Когда конденсатор разряжается, т. е. ранее разделенные заряды воссоединяются, то такую же работу совершают электрические силы. Таким образом, заряженный конденсатор обладает запасом потенциальной энергии, равным той работе, которая была затрачена на его зарядку.

Мы можем выразить эти факты иначе. Заряжая конденсатор, мы создаем в нем электрическое поле; при разрядке конденсатора это поле исчезает. Затраченная нами работа пошла на создание поля, а работа, совершаемая при разрядке конденсатора, получается за счет исчезновения этого поля. Можно сказать, следовательно, что всякое поле обладает некоторым запасом потенциальной энергии, освобождаемой при исчезновении этого поля.

Для наиболее простого случая плоского конденсатора (рис. 69) эту работу нетрудно вычислить. До тех пор, пока расстояние между пластинами мало по сравнению с размерами пластин, напряженность поля в плоском конденсаторе не зависит от расстояния . Действительно, в плоском конденсаторе поле однородно и его напряженность . Но разность потенциалов между пластинами конденсатора , а емкость (предполагаем, что между пластинами – вакуум, – площадь пластин). Таким образом,

, (38.1)

т. е. при постоянных и напряженность поля не зависит от , так как при изменении изменяется также .

Рис. 69. При раздвигании на расстояние пластин плоского конденсатора с зарядами и , напряженность поля в котором равна , затрачивается работа

Сила, с которой притягиваются друг к другу две противоположно заряженные пластины конденсатора, зависит от заряда на каждой из пластин и от напряженности поля . Так как при изменении не изменяются ни , ни , то неизменной остается и сила притяжения . Поэтому работа, которую нужно затратить, чтобы раздвинуть пластины от нулевого расстояния между ними до расстояния , равна . Но раздвижение пластин означает зарядку конденсатора, у которого расстояние между пластинами равно . Действительно, когда расстояние между пластинами равно нулю, т. е. пластины сложены вместе, то их заряды и образуют компенсированный двойной слой, и система не заряжена. Раньше (§ 7) мы уже подробно рассматривали появление электрических зарядов на двух телах как раздвижение двойного слоя электрических зарядов.

Запас энергии , которым обладает заряженный конденсатор, равен работе , которая была затрачена на его зарядку: . Чтобы вычислить эту работу, нам остается только определить силу . Для этого воспользуемся напряженностью поля в конденсаторе. Можно рассматривать как результирующую двух равных напряженностей и , из которых одна обусловлена положительным зарядом на одной пластине (на верхней пластине), а другая – отрицательным зарядом на другой (нижней) пластине (рис. 69). Ясно, что обе эти напряженности направлены в одну и ту же сторону, так что . Так как (потому что обе пластины конденсатора и их заряды симметричны), то . Сила взаимодействия между пластинами – это сила, с которой поле напряженности , вызванное зарядом на верхней пластине, действует на заряд нижней пластины и тянет его вверх. Но, с другой стороны, равно силе, с которой поле напряженности , вызванное зарядом на нижней пластине, действует на заряд верхней пластины и тянет ее к низу.

Таким образом,

, (38.2)

, (38.3)

а так как

Вспомнив, что заряд конденсатора , мы можем переписать эту формулу также в виде

Если в формулах (38.4) и (38.5) заряд выражать в кулонах, разность потенциалов в вольтах, а емкость в фарадах, то энергия будет выражена в джоулях. Формула (38.5) дает возможность понять, почему при разряде лейденской банки или батареи из нескольких банок, обладающей сравнительно большой емкостью, искра получается более мощной, производит более сильный звук и большее физиологическое действие, чем при разряде конденсатора малой емкости при том же напряжении. Батарея имеет больший запас энергии, чем одна банка. Молния представляет собой разряд конденсатора, «обкладками» которого являются либо два облака, либо облако и поверхность Земли. Емкость такого конденсатора сравнительно невелика, но запас энергии в молнии довольно значительный, потому что напряжение на этом конденсаторе достигает миллиарда вольт ( В).