Лекция 21. Свойства отношений

1. Свойство рефлексивености

2. Свойство симметричности

3. Свойство транзитивности

Мы установили, что бинарное отношение на множестве X пред­ставляет собой множество упорядоченных пар элементов, принад­лежащих декартову произведению X х Х. Это математическая сущ­ность всякого отношения. Но, как и любые другие понятия, отноше­ния обладают свойствами. Их удалось выделить, изучая различные конкретные отношения. Свойств достаточно много, в нашем курсе мы будем изучать только некоторые.

Рассмотрим на множестве отрезков, представ­ленных на рис. 98, отношения перпендикулярно­сти, равенства и «длиннее». Построим графы этих отношений (рис. 99) и будем их сравнивать. Ви­дим, что граф отношения равенства отличается от двух других наличием петель в каждой его вершине. Эти петли - результат того, что отно­шение равенства отрезков обладает свойством: любой отрезок равен самому себе. Говорят, что отношение равенства обладает свойством рефлек­сивности или просто, что оно рефлексивно.

Определение. Отношение R на множестве X называется рефлексив­ным, если о каждом элементе множества X можно сказать, что он находится в отношении R с самим собой.

R рефлексивно на Х ↔ х R х для любого х € X.

опр.

Если отношение R рефлексивно на множестве X, то в каждой вер­шине графа данного отношения имеется петля. Справедливо и обрат­ное утверждение: граф, каждая вершина которого имеет петлю, задает отношения, обладающие свойством рефлексивности.

Примеры рефлексивных отношений:

Отношение «кратно» на множестве натуральных чисел (каждое натуральное число кратно самому себе);

Отношение подобия треугольников (каждый треугольник подо­бен самому себе).

Существуют отношения, которые свойством рефлексивности не обладают. Таким, например, является отношение перпендикулярности на множестве отрезков: нет ни одного отрезка, о котором можно ска­зать, что он перпендикулярен самому себе. Поэтому на графе отноше­ния перпендикулярности (рис. 99) нет ни одной петли. Не обладает свойством рефлексивности и отношение «длиннее» для отрезков.

Обратим теперь внимание на графы отношений перпендикулярно­сти и равенства отрезков. Они «похожи» тем, что если есть одна стрелка, соединяющая пару элементов, то обязательно есть и другая, соединяющая те же элементы, но идущая в противоположном направ­лении. Эта особенность графа отражает те свойства, которыми обла­дают отношения параллельности и равенства отрезков:

Если один отрезок перпендикулярен другому отрезку, то этот «другой» перпендикулярен первому;

Если один отрезок равен другому отрезку, то этот «другой» равен первому.

Про отношения перпендикулярности и равенства отрезков гово­рят, что они обладают свойством симметричности или просто сим­метричны.

Определение. Отношение R на множестве X называется симмет­ричным, если выполняется условие: из того, что элемент х находит­ся в отношении R с элементом у, следует, что и элементу находит­ся в отношении R с элементом х.

Используя символы, это отношение можно записать в таком виде:

R симметрично на Х ↔ (х R y →yRx).

опр.

Граф симметричного отношения обладает особенностью: вместе с каждой стрелкой, идущей от х к у, граф содержит и стрелку, идущую от у к x . Справедливо и обратноеутверждение. Граф, содержащий вместе с каждой стрелкой, идущей от x к у, и стрелку, идущую от у к x , является графом симметричного отношения.

В дополнение к рассмотренным двум примерам симметричных от­ношений присоединим еще такие:

Отношениепараллельности на множестве прямых (если прямая x параллельна прямой у, то и прямая у параллельна прямой х)

Отношение подобия треугольников (если треугольник F подобен треугольнику Р, то треугольник Р подобен треугольнику F).

Существуют отношения, которые свойством симметричности не обладают. Таким, например, является отношение «длиннее» на мно­жестве отрезков. Действительно, если отрезок x длиннее отрезка у, то отрезок у не может быть длиннее отрезка х. Про отношения «длиннее» говорят, что оно обладает свойством антисимметрично­сти или просто антисимметрично.

Определение. Отношение R на множестве X называется анти­симметричным, если для различных элементов х и у из множества X выполнено условие: из того, что х находится в отношении R с элементом у, следует, что элемент у в отношении R с элементом х не находится.

R симметрично на Х ↔ (х R y ^ x≠y →yRx).

опр.

Граф антисимметричного отношения обладает особенностью: если две вершины графа соединены стрелкой, то эта стрелка только одна. Справедливо и обратное утверждение: граф, вершины которого со­единены только одной стрелкой, есть граф антисимметричного отношения.

Кроме отношения «длиннее» на множестве отрезков свойством ан­тисимметричности, например, обладают:

Отношение «больше» для чисел (если х больше у, то у не может
быть больше х);

Отношение «больше на 2» для чисел (если х боль­ше у на 2, то у не может быть больше на 2 числа х),

Существуют отношения, не обладающие ни свой­ством симметричности, ни свойством антисиммет­ричности. Рассмотрим, например, отношение «быть сестрой» на множестве детей одной семьи. Пусть в семье трое детей: Катя, Маша и Толя. Тогда граф отношения «быть сестрой» будет таким, как на рисунке 100. Он показывает, что данное отношение не обладает ни свой­ством симметричности, ни свойством антисимметричности.

Обратим внимание еще раз на одну особенность графа отноше­ния «длиннее» (рис. 99). На нем можно заметить: если стрелки про­ведены от е к а и от а к с, то есть стрелка от е к с ; если стрелки приведены от е к b и от b к с, то есть стрелка и от е к с и т.д. Эта особенность графа отражает важное свойство отношения «длиннее»: если первый отрезок длиннее второго, а второй - длиннее третьего, то первый - длиннее третьего. Говорят, что это отношение обладает свойством транзитивности или просто транзитивно.

Определение. Отношение R на множестве X называется транзи­тивным, если выполняется условие; из того, что элемент х нахо­дится в отношении R с элементом у и элемент у находится в от­ношении R с элементом z, следует, что элемент х находится в от­ношении К с элементом z .

Используя символы, это определение можно записать в таком виде:

R транзитивно на X ↔ (х R y ^ yRz → xRz).

опр.

Граф транзитивного отношения с каждой парой стрелок, идущих от x к у и у к z , содержит стрелку, идущую от х к z. Справедливо и обратное утверждение.

Кроме отношения «длиннее» на множестве отрезков свойством транзитивности обладает отношение равенства: если отрезок х равен отрезку у и отрезок у равен отрезку z, то отрезок х равен отрезку z, Это свойство отражено и на графе отношения равенства (рис. 99)

Существуют отношения, которые свойством транзитивности не об­ладают. Таким отношением является, например, отношение перпенди­кулярности: если отрезок а перпендикулярен отрезку d , а отрезок d перпендикулярен отрезку b, то отрезки а и b не перпендикулярны!

Рассмотрим еще одно свойство отношений, которое называют свой­ством связанности, а отношение, обладающее им, называют связанным.

Определение. Отношение R на множестве X называется связан­ным, если для любых элементов х и у из множества X выполняется условие: из того, что х и у различны, следует, что либо х находит­ся в отношении R с элементом у, либо элемент у находится в от­ношении R с элементом х.

Используя символы, это определение можно записать в таком виде:

R связано на множестве X ↔ (х ≠ у => хRу v уRх).

опр.

Например, свойством связанности обладают отношения «больше» длянатуральных чисел: для любых различных чисел х и у можно ут­верждать, что либо х > у, либо у > х.

На графе связанного отношения любые две вершины соединены стрелкой. Справедливо и обратное утверждение.

Существуют отношения, которые свойством связанности не обла­дают. Таким отношением, например, является отношение делимости на множестве натуральных чисел: можно назвать такие числа х и у, что ни число х не является делителем числа у, ни число у не является делителем числа х.

Выделенные свойства позволяют анализировать различные отно­шения с общих позиций - наличия (или отсутствия) у них тех или иных свойств.

Так, если суммировать все сказанное об отношении равенства, за­данном на множестве отрезков (рис. 99), то получается, что оно реф­лексивно, симметрично и транзитивно. Отношение «длиннее» на том же множестве отрезков антисимметрично и транзитивно, а отношение перпендикулярности - симметрично, но оно не обладает свойствами рефлексивности и транзитивности. Все эти отношения на заданном множестве отрезков связанными не являются.

Задача 1. Сформулировать свойства отноше­ния R, заданного при помощи графа (рис. 101).

Решение. Отношение R -антисимметрично, так как вершины графа соединяются только одной стрелкой.

Отношение R - транзитивно, так как с парой стрелок, идущих от b к а и от а к с, на графе есть стрелка, идущая от b к с.

Отношение R - связанно, так как любые две вер­шины соединены стрелкой.

Отношение R свойством рефлексивности не обла­дает, так как на графе есть вершины, в которых петли нет.

Задача 2. Сформулировать свойства отношения «больше в 2 раза», заданного на множестве натуральных чисел.

Решение. «Больше в 2 раза» - это краткая форма отношения «число х больше числа у в 2 раза». Это отношение антисимметрично, так как выполняется условие: из того, что число х больше числа у в 2 раза, следует, что число y не больше числа x 2 раза.

Данное отношение не обладает свойством рефлексивности, пото­му что ни про одно число нельзя сказать, что оно больше самого себя в 2 раза.

Заданное отношение не транзитивно, так как из того, что число x больше числа у на 2, а число у больше числа z на 2, следует, что число х не может быть больше числа z на 2.

Это отношение на множестве натуральных чисел свойством связан­ности не обладает, так как существуют пары таких чисел х и у, что ни число х не больше числа у в два раза, ни число у не больше х в 2 раза. Например, это числа 7 и 3, 5 и 8 и др.

История

Реляционная модель данных (РМД) относится к теоретико-множест­венным моделям данных. Появление теоретико-множественных моделей в системах баз данных (БД) было предопределено настоятельной потребностью пользователей в переходе от работы с элементами данных, как это делается в теоретико-графовых моделях , к работе с некоторыми макрообъектами.

Простота и наглядность для пользователей-непрограммистов и серьезное теоретическое обоснование эффективности практического применения в прикладных задачах определили большую популярность реляционной модели. Развитие формального аппарата представления и манипулирования данными в рамках реляционной модели привело к тому, что реляционная модель данных стала широко использоваться в системах представления знаний.

Теоретической основной РМД стала теория отношений. Основу теории отношений заложили двое ученых – американец Чарльз Содерс Пирс (1839-1914) и немец Эрнст Шредер (1841-1902). В руководствах по теории отношений было показано, что множество отношений замкнуто относительно некоторых специальных операций, т.е. образует вместе с этими операциями абстрактную алгебру. Американский математик Э.Ф.Кодд заложил принципы РМД. В конце 1968 года он впервые осознал, что математические дисциплины можно использовать, чтобы привнести в область управления базами данных строгие принципы и точность. Именно таких принципов недоставало этой области в то время. Кодд впервые сформулировал понятия и ограничения реляционной модели, определив набор из
семи основных и одной дополнительной операций.

Предложения Кодда для систем баз данных оказались чрезвычайно эффективными и оказали весьма существенное влияние на все аспекты технологии построения баз данных.

Основные понятия и определения

Реляционная модель данных (РМД) – это способ рассмотрения данных, при котором данные воспринимаются пользователем как таблицы и в распоряжении пользователя имеются некоторые операторы, которые генерируют новые таблицы из старых.

Под таблицами здесь понимается структура данных, состоящая из строк и столбцов. В этой структуре каждый столбец содержит данные только одного типа, каждая строка состоит из набора значений составляющих ее столбцов.

Под операторами понимаются операции выборки, группировки, соединения и некоторые другие, результатом которых являются новые таблицы, полученные на основании старых.

Основной структурой данных в РМД является отношение (от англ. relation – отношение). Отсюда возникло название модели, основанной на отношениях: такую модель стали называть реляционной моделью данных.

Введем некоторые определения.

N -арным отношением R называют подмножество декартова произведения множеств .

Исходные множества называют доменами.

где - полное декартово произведение множеств.

Полное декартово произведение множеств – набор всевозможных сочетаний из n элементов, где каждый элемент берется из своего домена.

Например, пусть имеются три домена (три некоторых множества):

Содержит наименования складов торговой фирмы;

Содержит наименования групп товаров;

Содержит наименования товаров, которыми торгует фирма.

Предположим, что содержимое доменов следующее:

= {Склад №1, Склад №2};

= {Стройматериалы, Бытовая химия};

= {Кирпич, Шифер, Мыло, Порошок}.

Тогда полное декартово произведение содержит набор из 16 троек (2x2x4), где первый элемент – один из складов фирмы, второй – название группы товаров, третий – наименование товара:

Таким образом, получаем набор всевозможных сочетаний значений доменов в одном n -арном отношении.

Учитывая, что отношение R только подмножество полного декартова произведения доменов, то в общем случае оно всегда меньше, чем полное декартово произведение множеств. Так отношение R может содержать только 5 строк.

R = {<Склад №1, Стройматериалы, Кирпич>,
<Склад №1, Стройматериалы, Шифер>,
<Склад №2, Стройматериалы, Шифер>,
<Склад №2, Бытовая химия, Мыло>,
<Склад №2, Бытовая химия, Порошок>}.

Отношение имеет простую графическую интерпретацию. Оно может быть представлено в виде таблицы R , столбцы которой соответствуют доменам, входящим в отношение, а строки – наборам из значений, взятых из исходных доменов.

Наборы из n значений называют n -ками.

Представленная таблица (отношение в виде таблицы) обладает рядом свойств:

1. Таблица имеет столбцы, соответствующие доменам.

2. Каждый столбец имеет уникальное имя.

3. В таблице нет двух одинаковых строк.

4. Порядок строк и столбцов в таблице произвольный.

Домен – множество всех допустимых значений какого-либо свойства или признака объекта (рис.1.1). При этом значения признака соответствуют определенному типу данных. Примерами элементарных доменов являются целые числа, дробные числа, строки и т.д. Одному домену может соответствовать несколько атрибутов, а одному атрибуту – несколько доменов. Например, домен «Текстовая строка» определяет множество допустимых значений для таких атрибутов как «Наименование склада», «Наименование товара», «Единица измерения» и пр. В то же время атрибут «Наименование склада» может быть определен доменом «Наименование объектов», как текстовой строки размером 50 знаков.

Атрибутом отношения называют признак или свойство объекта, множество значений которого определяется доменом. Если домен входит в отношение, то отношение имеет атрибут, возможными значениями которого могут быть только значения из данного домена. Если отношение представить в виде таблицы, то атрибутами будут являться столбцы.

Кортеж – это конкретный набор значений доменов (n -ка), составляющих строку отношения.

Степень отношения – это количество атрибутов в отношении.

Первичный ключ отношения – это уникальный идентификатор кортежа в пределах отношения. Первичным ключом отношения может быть определенная совокупность атрибутов отношения, образующих уникальный в пределах отношения идентификатор. Первичный ключ может также создаваться искусственно путем добавления нового атрибута к отношению. При этом, значения добавленного атрибута также должны быть уникальны в пределах отношения. В этом случае степень отношения увеличивается на единицу, а такой атрибут называют суррогатным первичным ключом . Примером суррогатного ключа является атрибут «Номер строки» на рис.1.1.

Следует отметить, что в отношении не может быть одинаковых кортежей, это следует из математической модели: отношение – подмножество декартова произведения множеств, а в декартовом произведении множеств все n -ки различны.

Любое отношение является динамической моделью некоторого реального объекта внешнего мира. Для любой динамической модели необходимо знать ее состояние в какой-либо момент времени, необходимо также знать структуру отношения.

Рис.1.1. Пример отношения «Остатки товаров на складах»

Поэтому вводится понятие экземпляра отношения , которое отражает состояние данного объекта в текущий момент времени, и понятие схемы отношения , которое определяет структуру отношения.

Схемой отношения R называют перечень имен атрибутов данного отношения с указанием домена, к которому они относятся:

Если атрибуты принимают значения из одного и того же домена, то они называются q-сравнимыми, где q - множество допустимых операций сравнения, заданных для данного домена. Например, если домен содержит числовые данные, то для него допустимы все операции сравнения, тогда

q = {=, <>, >=, <=, <, >}.

Схемы отношения называют эквивалентными, если они имеют одинаковую степень (число атрибутов) и возможно такое упорядочивание имен атрибутов в схемах, что на одинаковых местах будут находиться сравнимые атрибуты, т.е. атрибуты принимающие значения из одного
домена.

- схема отношения R1

- схема отношения R2 после упорядочивания имен атрибутов.

Тогда,

Фундаментальные свойства отношений

Остановимся теперь на некоторых важных свойствах отношений , которые следуют из приведенных ранее определений.

«Отношение. Основное свойство отношения» - страница №1/1

Тема урока: «Отношение. Основное свойство отношения».

Цели:

1. 
   Создать условия для осознания и осмысления нового математического понятия «отношение», основное свойство отношения; показать правила записи и прочтения отношений;
2. 
   Развивать познавательный интерес, умение сравнивать, обобщать; развивать внимание, воображение учащихся;
3. 
   Воспитывать социальную компетентность

Ход урока.

1. Организационный момент.

Чтобы спорилось нужное дело,

Чтобы в жизни не знать неудач,

В математики мир отправимся смело,

В мир примеров и разных задач.

А девизом нашего урока буду такие слова:

Думать - коллективно!

Решать - оперативно!

Отвечать - доказательно!

Бороться - старательно!

И открытия нас ждут обязательно!

2. Мотивация урока.

При решении разнообразных практических задач часто приходится сравнивать однородные величины между собой и находить отношение величин, выраженное целым или дробным числом.

Например, скорость – это отношение пройденного пути к времени.

Географическая карта – один из важнейших документов человеческой культуры. Люди всегда рисовали уменьшенные изображения местности, причем разные участки уменьшали произвольно, в разной степени. Поэтому старинные чертежи местности не дают возможности понять, например, каково расстояние между берегами реки, чему равна длина реки и т.д. Чтобы план местности был точным, необходимо все его детали уменьшать в одинаковое число раз с сохранением всех пропорций, т.е. делать изображение в масштабе. Поэтому каждая извилина на карте, каждый штрих, точка – результат огромного многолетнего труда землепроходцев, путешественников и исследователей.

Отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности называется масштабом.

И сегодня на уроке мы поговорим об отношении двух чисел.

3. Актуализация опорных знаний.

Устный счет:

4. Изучение нового материала.

Для того, чтобы объяснить смысл отношения дать условие задачи «В классе 25 учеников. Из них 15 мальчиков и 10 девочек» и вместе с учениками ответить на следующие вопросы:

• 
  Какую часть класса составляют девочки?
• 
  Какую часть класса составляют мальчики?
• 
  Какую часть количество девочек составляет от числа мальчиков?
• 
  Во сколько раз мальчиков больше девочек?

Открыли тетради и посчитали, сколько листов исписано, а сколько чистых

Представьте в виде частного отношение пустых листов к чистым.

Какие получились у вас дроби?

Частное двух чисел а и в, отличных от нуля, называют отношением этих чисел или отношением числа а к числу в. Отношение показывает, во сколько раз первое число больше второго или какую часть первое число составляет от второго.

Основное свойство отношения: Отношение не изменится, если его члены умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля.

Решить №597, 598.

5.Закрепление нового материала.

Решить № 604, 599, 601.

6. Историческая справка.

В древности и почти на всём протяжении средних веков под числом понималось только натуральное число, собрание единиц, полученное в результате счета. Отношение же будучи результатом деления одного числа на другое, не считалось числом.

Но уже в трудах среднеазиатских математиков Омара Хайяма (1048- 1131), Насирэддина ат – Туси (101 – 1274) выск5азана мысль о том, что отношение есть число и что над отношениями можно производить все действия, которые производятся над целыми числами.

Явно новое определение числа было дано впервые в 17 веке гениальным английским ученым Исааком Ньютоном. В своей « Всеобщей арифметике он писал: « Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлеченное отношение какой – нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу»

7. Итоги урока. Д/з.

Что называют отношением двух чисел?

Что показывает отношение двух чисел?

Как узнать какую часть число а составляет от числа b? Приведи пример.

Прочти вслух разными способами 35: 27.

Свойства отношений:

1) рефлексивность;

2)симметричность;

3)транзитивность.

4)связанность.

Отношение R на множестве Х называется рефлексивным, если о каждом элементе множества Х можно сказать, что он находится в отношении R с самим собой: х Rх. Если отношение рефлексивно, то в каждой вершине графа имеется петля. И обратно, граф, каждая вершина которого содержит петлю, представляет собой граф рефлексивного отношения.

Примерами рефлексивных отношений являются и отношение «кратно» на множестве натуральных чисел (каждое число кратно самому себе), и отношение подобия треугольников (каждый треугольник подобен самому себе), и отношение «равенства» (каждое число равно самому себе) и др.

Существуют отношения, не обладающие свойством рефлексивности, например, отношение перпендикулярности отрезков: ab, ba (нет ни одного отрезка, о котором можно сказать, что он перпендикулярен самому себе). Поэтому на графе данного отношения нет ни одной петли.

Не обладает свойством рефлексивности и отношение «длиннее» для отрезков, «больше на 2» для натуральных чисел и др.

Отношение R на множестве Х называется антирефлексивным , если для любого элемента из множества Х всегда ложно х Rх: .

Существуют отношения, не являющиеся ни рефлексивными, ни антирефлексивными. Примером такого отношения может служить отношение «точка х симметрична точке у относительно прямой l », заданное на множестве точек плоскости. Действительно, все точки прямой l симметричны сами себе, а точки, не лежащие на прямой l, себе не симметричны.

Отношение R на множестве Х называется симметричным , если выполняется условие: из того, что элемент х находится в отношении с элементом y , следует, что и элемент y находится в отношении R с элементом х: xRyyRx .

Граф симметричного отношения обладает следующей особенностью: вместе с каждой стрелкой, идущей от х к y , граф содержит стрелку, идущую от y к х (рис. 35).

Примерами симметричных отношений могут быть следующие: отношение «параллельности» отрезков, отношение «перпендикулярности» отрезков, отношение «равенства» отрезков, отношение подобия треугольников, отношение «равенства» дробей и др.

Существуют отношения, которые не обладают свойством симметричности.

Действительно, если отрезок х длиннее отрезка у , то отрезок у не может быть длиннее отрезка х . Граф этого отношения обладает особенностью: стрелка, соединяющая вершины, направлена только в одну сторону.

Отношение R называют антисимметричным , если для любых элементов х и y из истинности xRy следует ложность yRx: : xRyyRx.

Кроме отношения «длиннее» на множестве отрезков существуют и другие антисимметричные отношения. Например, отношение «больше» для чисел (если х больше у , то у не может быть больше х ), отношение «больше на» и др.

Существуют отношения, которые не обладают ни свойством симметричности, ни свойством антисимметричности.

Отношение R на множестве Х называют транзитивным, если из того, что элемент х находится в отношении R с элементом y, а элемент y находится в отношении R с элементом z , следует, что элемент х находится в отношении R с элементом z : xRy и yRz xRz.

Граф транзитивного отношения с каждой парой стрелок, идущих от х к y и от y к z , содержит стрелку, идущую от х к z.

Свойством транзитивности обладает и отношение «длиннее» на множестве отрезков: если отрезок а длиннее отрезка b , отрезок b длиннее отрезка с , то отрезок а длиннее отрезка с. Отношение «равенства» на множестве отрезков также обладает свойством транзитивности: (а= b, b=с)(а=с).

Существуют отношения, которые не обладают свойством транзитивности. Таким отношением является, например, отношение перпендикулярности: если отрезок а перпендикулярен отрезку b , а отрезок b перпендикулярен отрезку с , то отрезки а и с не перпендикулярны!

Существует еще одно свойство отношений, которое называется свойством связанности, а отношение, обладающее им, называют связанным.

Отношение R на множестве Х называется связанным, если для любых элементов х и y из данного множества выполняется условие: если х и y различны, то либо х находится в отношении R с элементом y , либо элемент y находится в отношении R с элементом х . С помощью символов это можно записать так: xy xRy или yRx.

Например, свойством связанности обладает отношение «больше» для натуральных чисел: для любых различных чисел х и y можно утверждать, либо x>y , либо y>x.

На графе связанного отношения любые две вершины соединены стрелкой. Справедливо и обратное утверждение.

Существуют отношения, которые не обладают свойством связанности. Таким отношением, например, является отношение делимости на множестве натуральных чисел: можно назвать такие числа х и y , что ни число х не является делителем числа y , ни число y не является делителем числа х (числа 17 и 11 , 3 и 10 и т.д.).

Рассмотрим несколько примеров. На множестве Х={1, 2, 4, 8, 12} задано отношение «число х кратно числу y ». Построим граф данного отношения и сформулируем его свойства.

Про отношение равенства дробей говорят, оно является отношением эквивалентности.

Отношение R на множестве Х называется отношением эквивалентности, если оно одновременно обладает свойством рефлексивности, симметричности и транзитивности.

Примерами отношений эквивалентности могут служить: отношения равенства геометрических фигур, отношение параллельности прямых (при условии, что совпадающие прямые считаются параллельными).

В рассмотренном выше отношении «равенства дробей», множество Х разбилось на три подмножества: {; ; }, {; }, {}. Эти подмножества не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством Х , т.е. имеем разбиение множества на классы.

Итак, если на множестве Х задано отношение эквивалентности, то оно порождает разбиение этого множества на попарно непересекающиеся подмножества - классы эквивалентности.

Так, мы установили, что отношению равенства на множестве
Х ={ ;; ; ; ; } соответствует разбиение этого множества на классы эквивалентности, каждый из которых состоит из равных между собой дробей.

Принцип разбиения множества на классы при помощи некоторого отношения эквивалентности является важным принципом математики. Почему?

Во-первых, эквивалентный - это значит равносильный, взаимозаменяемый. Поэтому элементы одного класса эквивалентности взаимозаменяемы. Так, дроби, оказавшиеся в одном классе эквивалентности {; ; }, неразличимы с точки зрения отношения равенства, и дробь может быть заменена другой, например . И эта замена не изменит результата вычислений.

Во-вторых, поскольку в классе эквивалентности оказываются элементы, неразличимые с точки зрения некоторого отношения, то считают, что класс эквивалентности определяется любым своим представителем, т.е. произвольным элементом класса. Так, любой класс равных дробей можно задать, указав любую дробь, принадлежащую этому классу. класса эквивалентности по одному представителю позволяет вместо всех элементов множества изучать совокупность представителей из классов эквивалентности. Например, отношение эквивалентности «иметь одинаковое число вершин», заданное на множестве многоугольников, порождает разбиение этого множества на классы треугольников, четырехугольников, пятиугольников и т.д. свойства, присущие некоторому классу, рассматриваются на одном его представителе.

В-третьих, разбиение множества на классы с помощью отношения эквивалентности используется для введения новых понятий. Например, понятие «пучок прямых» можно определить как то общее, что имеют параллельные прямые между собой.

Другим важным видом отношений являются отношения порядка. Рассмотрим задачу.На множестве Х ={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } задано отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 3 ». Это отношение порождает разбиение множества Х на классы: в один попадут все числа, при делении которых на 3 получается в остатке 0 (это числа 3, 6, 9 ). Во второй - числа, при делении которых на 3 в остатке получается 1 (это числа 4, 7, 10 ). В третий попадут все числа, при делении которых на 3 в остатке получается 2 (это числа 5, 8 ). Действительно, полученные множества не пересекаются и их объединение совпадает с множеством Х . Следовательно, отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 3 », заданное на множестве Х , является отношением эквивалентности.

Возьмем еще пример: множество учащихся класса можно упорядочить по росту или возрасту. Заметим, что это отношение обладает свойствами антисимметричности и транзитивности. Или всем известен порядок следования букв в алфавите. Его обеспечивает отношение «следует».

Отношение R на множестве Х называется отношением строгого порядка , если оно одновременно обладает свойствами антисимметричности и транзитивности. Например, отношение «х< y ».

Если же отношение обладает свойствами рефлексивности, антисимметричности и транзитивности, то такое оно будет являться отношением нестрогого порядка . Например, отношение «х y ».

Примерами отношения порядка могут служить: отношение «меньше» на множестве натуральных чисел, отношение «короче» на множестве отрезков. Если отношение порядка обладает еще и свойством связанности, то говорят, что оно является отношением линейного порядка . Например, отношение «меньше» на множестве натуральных чисел.

Множество Х называется упорядоченным, если на нем задано отношение порядка.

Например, множество Х= {2, 8, 12, 32 } можно упорядочить при помощи отношения «меньше» (рис. 41), а можно это сделать при помощи отношения «кратно» (рис. 42). Но, являясь отношением порядка, отношения «меньше» и «кратно» упорядочивают множество натуральных чисел по-разному. Отношение «меньше» позволяет сравнивать два любых числа из множества Х , а отношение «кратно» таким свойством не обладает. Так, пара чисел 8 и 12 отношением «кратно» не связана: нельзя сказать, что 8 кратно 12 либо 12 кратно 8.

Не следует думать, что все отношения делятся на отношения эквивалентности и отношения порядка. Существует огромное число отношений, не являющихся ни отношениями эквивалентности, ни отношениями порядка.