Детерминированные сигналы, которые рассматривались выше, являются лишь частным случаем возможных сигналов связи. Они соответствуют известным переданным сообщениям и, следовательно, не могут нести информация. Сигналы, способные передать получателю какие-либо сведения, заранее не могут быть известными и представляют собой случайный процесс (последовательность импульсов в системе телеграфной связи или некоторую непрерывную функцию при передаче телефонных сообщений).
Случайными сигналами (процессами) называются сигналы, математическим описанием которых являются случайные функции времени. Случайной называется функция, значения которой при каждом значении аргумента являются случайными величинами. Следовательно, в отличие от детерминированных или регулярных процессов, течение которых определено однозначно, случайный процесс представляет собой изменения во времени какой-либо физической величины, которые заранее предсказать невозможно. Наиболее известным примером случайного процесса являются флуктуационные (дробовые и тепловые) шумы в радиотехнических устройствах. При наблюдении теплового напряжения на выходах идентичных устройств обнаруживается, что функции времени, описывающие эти напряжения, различны. Объясняется же это тем, что в любой момент времени ток в цепи обусловлен большим, но случайным числом вылетающих электронов. Аналогично, напряжение на выходе приемника при передаче речи или музыке также является случайной функцией времени, так как зависит от содержания передачи, исполнителя и многих других факторов.
Таким образом, реальные сигналы и помехи представляют собой случайные процессы. Более того, между сигналами и помехами нет принципиальной разницы: сигнал, предназначенный для одного корреспондента, является помехой для другого.
Случайная
функция времени
,
описывающая случайный процесс, в
результате опыта может принять ту или
иную конкретную форму
,
неизвестную заранее (рис. 3.1). Эти возможные
формы случайной функции называются
реализациями случайного процесса.
Совокупность всех возможных реализаций
случайного процесса
называется ансамблем. Отметим, что
каждая из реализаций
случайного процесса является уже не
случайной, а детерминированной функцией.
Однако, предсказать, какова будет
реализация процесса в каком-либо
единичном опыте, невозможно.
Очевидно,
что детерминированный процесс имеет
только одну единственную р
еализацию,
описываемую заданной функцией времени
.
Напомним,
что в фиксированный момент времени
значения случайного процесса
являются случайной величиной с
определенным распределением вероятностей
(3.1).
Случайные
процессы могут быть непрерывными и
дискретными. Реализации первых являются
непрерывными функциями времени, а
реализации последних – ступенчатыми
(рис. 3.2).
Особым классом являются квазидетерминированные процессы, которые описываются детерминированными функциями времени, содержащими один или несколько случайных параметров. Примером такого процесса является процесс
где а, ω, φ – в отдельности или вместе являются случайными величинами.
Как уже отмечалось, невозможно заранее предсказать, как будет протекать случайный процесс в единичном опыте. Однако, если рассматривать не каждую реализацию в отдельности, а совокупность их большого числа, то окажется, что некоторые средние результаты обладают статистической устойчивостью, т.е. могут быть оценены количественно. Устойчивость средних результатов носит вероятностный характер. Отысканием вероятностных закономерностей, связывающих различные реализации случайных физических явлений занимается теория случайных процессов. Ниже рассматриваются способы описания случайных процессов.
ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
П
усть
имеется случайный процесс
,
который задан совокупностьюN
реализации
(рис. 3.3). Произведем сечение случайного
процесса в некоторый фиксированный
момент времениt
.
Выделим из общего числа N
те
реализаций, значения которых в момент
времени
меньше некоторого уровня
.
При достаточно большомN
относительная доля
реализации, находящихся в момент времени
ниже уровня
,
будет обладатьстатистической
устойчивостью,
т.е.
будет оставаться приблизительно
постоянной, колеблясь при изменении N
и
вокруг некоторого среднего значения.
Это среднее значение определяет
вероятность пребывания значений
случайного процесса ниже уровня
.
Функция
определяющая
вероятность нахождения значений
случайного процесса момент времени
ниже уровня
,
называетсяодномерной
интегральной функцией распределения
вероятностей случайного процесса. Ее
производная, если она существует,
(3.1.3)
называется одномерной плотностью вероятности или дифференциальной функцией распределения случайного процесса. Заметим, что приведенные определения для случайных процессов полностью совпадают с определениями, используемыми в теории вероятностей для случайных величин, так как значения процесса в фиксированные моменты времени являются случайными величинами.
Введенные
функции
,
и
дают представление о процессе лишь для
изолированных друг от друга моментов
времени
.
Для более полной характеристики процесса
необходимо учитывать статистическую
связь между значениями случайного
процесса в различные моменты времени,
Эту связь для двух моментов времени
учитывает двумерная интегральная
функция распределения вероятностей
определяющая
вероятность того, что значения случайного
процесса в момент времени
,
а в момент времени
- ниже уровня
.
Частная производная второго порядка
(3.1.5)
называется двумерной плотностью вероятностей случайного процесса. Эти функции зависят уже от четырех аргументов.
Аналогично определяются многомерные интегральная и дифференциальная функции распределения случайного процесса
(3.1.6)
которые зависят от 2n -аргументов.
Вероятностные
свойства случайного процесса
характеризуются тем полнее, чем больше
n
. Если ограничитьсяn
- мерной функцией
распределения, то случайный процесс
отождествляется фактически с совокупностьюn
случайных величин
.
Если значения случайного процесса при любых значениях t зависимы, то многомерная функция распределения равна произведению одномерных
Аналогично тому, как при изучении случайных величин рассматриваются распределения совокупности случайных величин, так и при изучении случайных процессов приходится одновременно рассматривать совокупность нескольких процессов. Ограничимся здесь случаем двух процессов. Важнейшей вероятностной характеристикой в этом случае является двумерная совместная интегральная функция распределения,
равная
вероятности того, что значения процесса
при
,
будут находиться ниже уровняx
,
а значения процесса
при
- ниже уровняу
.
Вторая частная производная
(3.1.9)
называется
двумерной совместной плотностью
вероятностей случайных процессов
и
.
Если случайные процессы
и
независимы, то
Напомним, что интегральные функции распределения случайных процессов с плотностями вероятностей связаны соотношениями:
(3.1.11)
(3.1.12)
ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Функции распределения (интегральная или дифференциальная) достаточно полно характеризуют случайный процесс. Однако часто они оказываются довольно сложными или требуют для своего определения обработки большого числа экспериментальных данных. Кроме того, часто подробного описания процесса не требуется. Потому в этих случаях ограничиваются при описании процессов лишь некоторыми числовыми характеристиками. К ним относятся средние значения, дисперсии и корреляционные функции. Числовые характеристики случайных процессов аналогичны числовым характеристикам случайных величин, которые используются в теории вероятностей, но имеют ту особенность, что представляют собой в общем случае не числа, а функции времени.
Простейшей характеристикой случайного процесса является его среднее значение или математическое ожидание, определяемое следующим образом. Рассмотрим сечение случайного процесса в некоторый момент времени t . В этом сечении имеем обычную случайную величину, для которой можно найти математическое ожидание. Очевидно, в общем случае оно зависит от выбора момента времени:
(3.1.13)
где прямая горизонталь нам черта означает условную запись усреднения по множеству или ансамблю возможных реализации.
Т
аким
образом, средним значением случайного
процесса
называется неслучайная функцияa
(t
)
,
которая при каждом значении аргумента
t
равна математическому ожиданию
соответствующего сечения случайного
процесса (рис. 3.4).
По смыслу среднее значение случайного процесса представляет собой среднюю функцию, около которой различным образом располагаются отдельные реализации процесса.
Аналогичным образом определяется среднее значение квадрата случайного процесса:
(3.1.14)
Дисперсией случайного процесса называется неслучайная функция, значения которой для каждого момента времени t равны дисперсиям соответствующих сечений случайного процесса, т.е. математическому ожиданию квадрата отклонения случайного процесса от его среднего значения:
Следовательно, дисперсия определяет степень разброса значений случайного процесса около среднего значения.
Среднее значение и дисперсия характеризуют поведение случайного процесса в отдельные моменты времени. В качестве характеристики, учитывающей статистическую зависимость между значениями случайного процесса в различные моменты времени, используется корреляционная (иначе - автокорреляционная) функция случайного процесса
определяемая
как математическое ожидание от
произведения значений процесса в два
различных момента времени. Анализируя
последнее выражение, замечаем, что
величина интеграла будет больше в тех
случаях, когда с увеличением (уменьшением)
значений процесса в момент времени
,
будут также увеличиваться (уменьшаться)
значения процесса в момент времени
.
Следовательно, корреляционная функция
определяет степень линейной зависимости
между значениями случайного процесса
в различные моменты времени. На рис. 3.5
и 3.6 показаны соответственно два случайных
процесса с сильной и слабой статистической
зависимостью их значений в моменты
времени
и
.
И
з
определения корреляционной функции
следует
(3.1.17)
т.е. она является симметричной относительно начала отсчета времени.
Для
совокупности двух случайных
и
статистическая зависимость между их
значениями в различные моменты времени
определяется функцией взаимной корреляции
Если
случайные процессы
и
статистически независимы, то согласно
(3.1.10)
где
- средние значения случайных процессов
и
соответственно. Если хотя бы для одного
из случайных процессов среднее значение
равно нулю, то
Процессы, для которых взаимная корреляционная функция равна постоянной величине или нулю, называются некогерентными или некоррелированными. Независимые процессы всегда некоррелированы, однако, обратное утверждение в общем случае неверно.
В некоторых случаях вместо корреляционной функции вводится нормированная корреляционная функция или кратко коэффициент корреляции
Для совокупности двух случайных процессов средние значения каждого из них определяются по формулам
(3.1.20)
(3.1.21)
где
внутренние интегралы представляют
собой не что иное, как плотности
вероятностей
и
соответственно. Аналогичным образом
можно определить дисперсию каждого из
случайных процессов.
СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Важнейшим
классом случайных процессов, встречающихся
на практике, является класс стационарных
случайных процессов. Случайный процесс
называется стационарным
в строгом (узком) смысле, если его функция
распределения любого порядка не
изменяется при сдвиге совокупности
точек
на величину
,
т.е.
Другими словами, для стационарного процесса функция распределения любого порядка и, следовательно, его характеристики не зависят от положения начала отсчета времени. Стационарность означает статистическую однородность процесса во времени. Физически стационарный случайный процесс представляет собой случайный процесс в установившемся режиме, каковым является, например, шум на выходе усилителя через достаточно большой промежуток времени после его включения.
Если приведенное выше условие не выполняется, то процесс называется нестационарным. Нестационарный процесс будет наблюдаться, например, на выходе какого-либо генератора шумов непосредственно после его включения.
Из определения стационарного процесса следует, что
т.е.
одномерная функция распределения вообще
не зависит от времени, а двумерная
функция распределения зависят только
от разностей времен
.
Отсюда следует, что для стационарного
случайного процесса среднее значение
и дисперсия являются постоянными
величинами, т.е. не зависит от времени
(3.1.24)
а
корреляционная функция такого процесса
зависит только от одной переменной
:
В
настоящее время существует хорошо
разработанная корреляционная
теория случайных процессов, изучающая
только те свойства процесса, которые
определяются средними значениями,
дисперсиями и корреляционными функциями.
Эта теория не использует многомерных
законов распределения. В рамках этой
теории случайный процесс называют
стационарным
в широком
смысле,
если
его среднее значение и дисперсия не
зависят от времени, а корреляционная
функция зависит только от разности
времен
.
Стационарность в широком смысле не
тождественна строгому определению
стационарности. Случайные процессы,
стационарные в строгом смысле, всегда
стационарны в широком смысле, но не
наоборот.
Корреляционная функция характеризует случайный процесс далеко не полностью. Более того, различным процессам могут соответствовать одинаковые корреляционные функции. Равенство корреляционных функций не означает тождественность процессов. Практическая ценность корреляционной теории возрастает в связи с тем, что существует одно полезное исключение. В радиотехнических и других устройствах наиболее распространенными являются нормальные случайные процессы, для которых понятия стационарности в строгом и широком смысле совпадают, а задание корреляционной функции, как будет показано ниже, полностью определяет многомерное распределение процесса. |
Отметим теперь, что во многих случаях на практике допущение стационарности случайного процесса можно считать достаточно точным. Вместе с тем часто приходится сталкиваться с нестационарными процессами. Простейший пример нестационарного процесса - сумма стационарного случайного и детерминированного процессов. Нестационарными являются и модулированные колебания, когда модуляция осуществляется случайным процессом.
Случайные процессы и их вероятностные характеристики.
Стационарный случайный процесс. Корреляционная функция стационарного случайного процесса. Аппроксимация корреляционной функции ССП.
Случайный процесс или случайная функция - это обобщение понятия случайной величины. В случае случайного процесса результатом опытов является не число или определенная величина, а некоторая функция времени, которая при повторении опытов в одинаковых условиях каждый раз случайным образом меняет свой вид. Случайная функция является функцией одного или нескольких переменных.
Неслучайная функция, получающаяся в результате каждого опыта, называется реализацией случайного функции. При каждом повторении опыта будем получать новую реализацию. Следовательно, случайную функцию (случайный процесс) можно рассматривать как множество всех ее реализаций. Такой статистический подход очень удобен при исследовании многих метеорологических процессов и полей. Например. при обработке данных самописцев (термографа или барографа). Каждая лента самописца может быть рассмотрена как реализация случайного процесса. Наглядным примером случайной функции может служить турбулентная диффузия. Одним из методов изучения турбулентной диффузии в реальной атмосфере является применение трансзондов – уравновешенных шаров-пилотов, вес которых подбирается так, чтобы они свободно плавали в воздухе вблизи какой-нибудь изобарической поверхности. Каждый такой зонд рассматривается как частица в потоке газа. Регистрируя значение какой-нибудь координаты одной из таких частиц через определенные промежутки времени, мы получим реализацию случайного процесса.
На рис 2.1 изображено несколько реализаций зональной составляющей траектории частицы.
Каждая кривая на рис 2.1 представляет собой реализацию случайного процесса.
Рассмотрим теперь случайный процесс с другой стороны. Зафиксируем определенный момент времени и восстановим перпендикуляр в этой точке. При этом данный перпендикуляр рассечёт все реализации случайного процесса. Точки пересечения перпендикуляра со всеми реализациями представляют собой значения некой случайной величины, которую называют сечением
случайного процесса (функции). Тогда случайный процесс можно рассматривать как совокупность всех его случайных сечений, то есть как совокупность всех случайных величин, соответствующих моментам времени 
.
Как уже говорилось, случайная величина считается полностью определенной, если известна ее функция распределения
(2.1)
Система случайных величин определена, если задана ее функция распределения
Случайный процесс приближенно считается полностью определенным, если известна совместная функция распределения множества его сечений. И, чем ближе сечения расположены друг относительно друга, тем функция распределения будет полнее описывать случайный процесс.
Исходя из этого, случайный процесс считается заданным, если для каждого значения определена функция распределения случайной величины
для каждой пары значений аргумента определена функция распределения системы случайных величин , и вообще для любых значений аргумента определена -мерная функция распределения системы случайных величин .
Функция (2.3) называется одномерной функцией распределения случайного процесса, и она не учитывает взаимную зависимость между различными сечениями. Для полной характеристики случайного процесса нужно задать все многомерные функции распределения.
В качестве характеристик случайного процесса, как и случайных величин, можно пользоваться моментами распределения. Моментом первого порядка называется математическое ожидание случайного процесса, которое зависит от времени
Математическое ожидание полностью определяется закон распределения первого порядка
(2.4)
Центральный момент является функцией аргумента времени, и при каждом фиксированном значении времени представляет собой дисперсию соответствующего случайного сечения. Это неслучайная функция аргумента времени
называется дисперсией случайного процесса.
Неслучайную функцию двух аргументов
называется корреляционной функцией случайного процесса. При равенстве аргументов корреляционная функция превращается в дисперсию, то есть
(2.7)
Корреляционную функцию можно записать, пользуясь двумерным дифференциальным законом распределения случайного процесса
Из определения корреляционной функции видно, что она симметрична относительно своих аргументов. Вместо корреляционной функции можно пользоваться нормированной корреляционной функцией , определяемой в виде
(2.9),
где 
- среднее квадратическое отклонение случайного процесса. Для каждой пары значение аргументов нормированная корреляционная функция есть ни что иное, как коэффициент корреляции соответствующих сечений случайного процесса. Она показывает линейную связь между этими сечениями.
Наиболее простыми для изучения и статистического описания являются такие случайные процессы, статистические свойства которых не изменяются с изменением аргумента.
Такие процессы называются стационарными .
Случайный процесс называется стационарным, если все его конечномерные законы распределения не изменяются при прибавлении ко всем значениям аргумента одного и того же числа, то есть, если все они зависят только от взаимного расположения значений аргумента, но не от самих этих значений.
Иными словами, стационарный случайный процесс (ССП) называется таким в широком смысле слова, если его математическое ожидание и дисперсия не зависят от времени, а корреляционная функция есть функцией только одного аргумента = .
Оценка корреляционной функции ССП производится по следующей формуле
(2.10),
где - оценка математического ожидания. Из последней формулы видно, что в нуле корреляционная функция равно оценке дисперсии .. Оценить нормированную корреляционную функцию можно по формуле
В нуле равно единице. Для метеорологических процессов предположение о стационарности достаточно хорошо подтверждается для сравнительно небольших интервалов времени. С увеличением интервалов изменения аргумента наблюдается нарушение стационарности.
При исследовании статистической структуры процессов чаще всего встречаются стационарные случайные процессы, корреляционные функции которых аппроксимируются функциями следующих типов:
(2.12)
В качестве характеристики ССП наряду с корреляционной функцией рассматривают структурную функцию, которую определяют как математическое ожидание квадрата разности сечений случайного процесса, соответствующих значениям аргумента и
Из определения видно, что структурная функция неотрицательна.
Структурную функцию можно выразить через корреляционную функцию
Из (2.14) и свойств корреляционной функции получаем, что
(2.15)
Понятие об эргодичности случайных процессов.
До сих пор мы определяли характеристики случайного процесса путем осреднения по множеству всех реализаций.
Однако возможен другой способ осреднения, в случае, когда имеет место лишь одна реализация большой продолжительности. Если связь между различными сечениями СП убывает быстро, то те части реализации, которые можно считать независимыми между собой, рассматривают как совокупность реализаций. Естественно, что такой способ можно использовать только для ССП.
Для ССП математическое ожидание (среднее значение) не зависит от аргумента, поэтому можно попытаться, не разделяя реализацию на отдельные части, определить его как среднее арифметическое из всех значений данной реализации. В этом случае математическое ожидание определится по формуле
(2.16), где интервал осреднения. Аналогично корреляционную функцию - как среднее арифметическое произведение по формуле (2.10).
Возникает вопрос, будут ли эти значения близки к соответствующим значениям, полученным осреднением по совокупности. Оказывается, это будет иметь место только в случае эргодичности СП.
Говорят, что случайный процесс, для которого статистические характеристики, полученные осреднением по одной реализации, при увеличении интервала осреднения с вероятностью сколь угодно близкой к единице могут быть приближены к соответствующим характеристикам, полученным осреднением по всему множеству реализаций, обладает эргодическим свойством. Свойство эргодичности имеет большое практическое значение, так как чаще всего в метеорологии мы имеем для исследования только одну реализацию. Для надежного определения искомых характеристик нужно брать интервал осреднения во много раз большим, чем время корреляции , которое определяется по формуле
Математическими моделями случайных сигналов и помех являются случайные процессы. Случайным процессом (СП) называется изменение случайной величины во времени . К случайным процессам относится большинство процессов, протекающих в радиотехнических устройствах, а также помехи, сопровождающие передачу сигналов по каналам связи. Случайные процессы могут быть непрерывными (НСП), либо дискретными (ДСП) в зависимости от того, какая случайная величина непрерывная или дискретная изменятся во времени. В дальнейшем основное внимание будет уделено НСП.
Прежде чем приступить к изучению случайных процессов необходимо определится со способами их представления. Будем обозначать случайный процесс через , а его конкретную реализацию – через . Случайный процесс может быть представлен либо совокупностью (ансамблем) реализаций , либо одной , но достаточно протяженной во времени реализацией . Если сфотографировать несколько осциллограмм случайного процесса и фотографии расположить одну под другой, то совокупность этих фотографий будет представлять ансамбль реализаций (рис. 5.3).
Здесь – первая, вторая, …, k-ая реализации процесса. Если же отобразить изменение случайной величины на ленте самописца на достаточно большом интервале времени T, то процесс будет представлен единственной реализацией (рис. 5.3).
Как и случайные величины, случайные процессы описываются законами распределения и вероятностными (числовыми) характеристиками. Вероятностные характеристики могут быть получены как усреднение значений случайного процесса по ансамблю реализаций, так и усреднением по одной реализации.
Пусть случайный процесс представлен ансамблем реализаций (рис. 5.3). Если выбрать произвольный момент времени и зафиксировать значения, принимаемые реализациями в этот момент времени, то совокупность этих значений образует одномерное сечение СП
и представляет собой случайную величину . Как уже подчеркивалось выше, исчерпывающей характеристикой случайной величины является функция распределения или одномерная плотность вероятности
.
Естественно как , так и , обладают всеми свойствами функции распределения и плотности распределения вероятности, рассмотренными выше.
Числовые характеристики в сечении определяются в соответствии с выражениями (5.20), (5.22), (5.24) и (5.26). Так, в частности математическое ожидание СП в сечении определяется выражением
а дисперсия – выражением
Однако, законов распределения и числовых
характеристик только в сечении недостаточно для описания случайного процесса,
который развивается во времени. Поэтому, необходимо рассмотреть второе сечении (рис. 5.3). В этом случае СП будет описываться
уже двумя случайными величинами и , разнесенными между собой на
интервал времени 
и характеризоваться двумерной функцией
распределения 
и двумерной плотностью 
, где , . Очевидно, если ввести в
рассмотрение третье, четвертое и т.д. сечения, можно прийти к многомерной (N-мерной) функции распределения и соответственно к многомерной плотности
распределения .
Важнейшей характеристикой случайного процесса служит автокорреляционная функция (АКФ)
устанавливающая степень статистической связи между значениями СП в моменты времени и
Представление СП в виде ансамбля реализаций приводит к понятию стационарности процесса. Случайный процесс является стационарным , если все начальные и центральные моменты не зависят от времени, т.е.
, 
.
Это жесткие условия, поэтому при их выполнении СП считается стационаром в узком смысле .
На практике используется понятие стационарности в широком смысле . Случайный процесс стационарен в широком смысле, если его математическое ожидание и дисперсия не зависят от времени, т.е.:
а автокорреляционная функция
определяется только интервалом и не зависит от выбора на оси времени
В дальнейшем будут рассматриваться только стационарные в широком смысле случайные процессы.
Выше отмечалось, что случайный процесс помимо представления ансамблем реализаций, может быть представлен единственной реализацией на интервале времени T. Очевидно, все характеристики процесса могут быть получены усреднением значений процесса по времени.
Математическое ожидание СП при усреднении по времени определяется следующим образом:
. (5.46)
Отсюда следует физический смысл : математическое ожидание – это среднее значение (постоянная составляющая) процесса.
Дисперсия СП определяется выражением
и имеет физический смысл средней мощности переменной составляющей процесса.
Автокорреляционная функция при усреднении по времени
Случайный процесс называется эргодическим , если его вероятностные характеристики, полученные усреднением по ансамблю, совпадают с вероятностными характеристиками, полученными усреднением по времени единственной реализации из этого ансамбля. Эргодические процессы являются стационарными.
Использование выражений (5.46), (5.47) и (5.48) требует, строго говоря, реализации случайного процесса большой (теоретически бесконечной) протяженности. При решении практических задач интервал времени ограничен. При этом большинство процессов считают приблизительно эргодическими и вероятностные характеристики определяют в соответствии с выражениями
; (5.49)
;
Случайные процессы, у которых исключено математическое ожидание, называются центрированными . В дальнейшем под и будут подразумеваться значения центрированных случайных процессов. Тогда выражения для дисперсии и автокорреляционной функции принимают вид
; (5.50)
Отметим свойства АКФ эргодических случайных процессов:
– автокорреляционная функция является вещественной функцией аргумента ,
– автокорреляционная функция является
четной функцией, т.е. 
,
– при увеличении АКФ убывает (необязательно монотонно) и при стремится к нулю,
– значение АКФ при равно дисперсии (средней мощности) процесса
.
На практике часто приходится иметь дело с двумя и более СП. Так например, на вход радиоприемника одновременно поступает смесь случайного сигнала и помехи. Взаимную связь между двумя случайными процессами устанавливает взаимная корреляционная функция (ВКФ). Если и – два случайных процесса, характеризующиеся реализациями и , то взаимная корреляционная функция определяется выражением
Определение
,где произвольное множество , называется случайной функцией.
Терминология
Данная классификация нестрогая. В частности, термин "случайный процесс" часто используется как безусловный синоним термина "случайная функция".
Классификация
Траектория случайного процесса
Пусть дан случайный процесс . Тогда для каждого фиксированного - случайная величина, называемая сечением . Если фиксирован элементарный исход , то - детерминистическая функция параметра . Такая функция называется траекто́рией или реализа́цией случайной функции .
Примеры
является случайным процессом.
Примечания
См. также
Источники
- А. А. Свешников. Прикладные методы теории случайных функций. - Гл.ред.физ.-мат.лит., 1968.
- С. И. Баскаков. Радио/технические цепи и сигналы. - Высшая школа, 2000.
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Случайный процесс" в других словарях:
случайный процесс - — случайный процесс вероятностный процесс стохастический процесс Случайная функция X(t) от независимой переменной t (в экономике она чаще всего интерпретируется как время). Иначе … Справочник технического переводчика
- (вероятностный или стохастический), процесс изменения во времени состояния или характеристик некоторой системы под влиянием различных случайных факторов, для которого определена вероятность того или иного его течения. Типичным примером случайного … Большой Энциклопедический словарь
Случайный процесс - (вероятностный, стохастический процесс) случайная функция X(t) от независимой переменной t (в экономике она чаще всего интерпретируется как время). Иначе говоря, это такой процесс, течение которого может быть различным в… … Экономико-математический словарь
Ф ция непрерывного времени,значение к рой в каждый момент является случайной величиной, т … Физическая энциклопедия
Функция 2 х аргументов X(t)= X(ω,t); множество элементарных событий, параметр, обычно интерпретируемый как время. Для каждого tX(ω,t) функция только ω и представляет собой случайную величину. Для фиксированного ω X(ω,t)… … Геологическая энциклопедия
Случайный процесс - 1. Случайный процесс Вероятностный процесс Источник: ГОСТ 21878 76: Случайные процессы и динамические системы. Термины и определения оригинал документа … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
- (вероятностный, или стохастический), процесс изменения во времени состояния или характеристик некоторой системы под влиянием различных случайных факторов, для которого определена вероятность того или иного его течения. Типичным примером… … Энциклопедический словарь
- (вероятностный, или стохастический) процесс (т. е. изменение во времени состояния некоторой системы), течение которого может быть различным в зависимости от случая и для которого определена вероятность того или иного его течения. Типичным … Большая советская энциклопедия
- (вероятностный, или стохастический), процесс изменения во времени состояния или характеристик нек рой системы под влиянием разл. случайных факторов, для к рого определена вероятность того или иного его течения. Типичным примером С. п. может… … Естествознание. Энциклопедический словарь
случайный процесс - tikimybinis procesas statusas T sritis chemija apibrėžtis Procesas, kuris iš anksto negali būti tiksliai nusakytas, o yra apibūdinamas jo vykimo tikimybe. atitikmenys: angl. probabilistic process; random process; stochastic process rus.… … Chemijos terminų aiškinamasis žodynas
Книги
- , Груздев А.. Практическое применение методов машинного обучения на базе популярных статистических пакетов IBM SPSS Statistics, R и Python Строительство и интерпретация дерева решенийи случайного леса …
- Прогнозное моделирование в IBM SPSS Statistics, R и Python. Метод деревьев решений и случайный лес , Груздев Артем Владимирович. Данная книга представляет собой практическое руководство по применению метода деревьев решений и случайного леса для задач сегментации, классификации и прогнозирования. Каждый раздел книги…
Сибирский Государственный Университет Телекоммуникаций и Информатики
Кафедра РТС
Реферат по дисциплине «Теория электрической связи» на тему:
«Случайные процессы».
Выполнил: студент группы …
Принял: Криволапов Геннадий Илларионович
Новосибирск 2002
1. Случайные процессы и их характеристики
2. Определение одномерной функции распределения вероятностей случайных процессов.
Случайные процессы и их характеристики.
Детерминированное, т. е. заранее известное сообщение не содержит информации. Поэтому в теории связи источник сообщения следует рассматривать как устройство, осуществляющее выбор из некоторого множества возможных сообщений. Каждая конкретная реализация сообщения возникает с определённой вероятностью, которая в общем случае зависит от того, какие сообщения передавались раньше. Точно так же и посылаемая в канал реализация сигнала является элементом некоторого множества, выбираемого с определённой вероятностью. Множество, на котором задана вероятностная мера, называют ансамблем. Ансамбли сообщений и сигналов могут быть конечными (в дискретном случае) или бесконечными.
Ансамбль
функций времени является случайным процессом.Случайными процессами называются такие процессы, которые математически описываются случайными функциями времени. Случайной называется функция, значения которой при каждом значении аргумента являются случайными величинами.
Случайная функция времени
, описывающая случайный процесс, в результате опыта принимает ту или иную конкретную форму , неизвестную заранее. Эти возможные формы случайной функции называются реализациями случайного процесса.Мгновенные значения случайного процесса в фиксированный момент времени t i являются случайными величинами и называются сечением случайного процесса.
Статистические свойства случайного процесса
как множества (ансамбля) реализации , характеризуются законами распределения, аналитическими выражениями которых являются функции распределения.Для некоторого фиксированного момента времени t i одномерная функция распределения
определяет вероятность того, что мгновенное значение случайного процесса в этот момент времени примет значение, меньшее или равное X, то есть вероятность того, что
.В общем случае скалярный процесс X(t) полностью задан, если для любого набора моментов времени
и любых значений можно вычислить вероятность того, что X(t) принимает в указанные моменты времени значения, не превышающие соответственно . . называется n-мерной функцией распределения вероятности процесса.Если существует частная производная функции распределения по x i , то можно определить плотность распределения вероятности. Одномерная плотность распределения вероятностей случайного процесса определяется соотношением
.
Аналогично определяются многомерные (n-мерные) функции распределения для совокупности моментов времени t 1 , t 2 ,..,t i ,..,t n , которые более полно характеризуют случайный процесс одновременно в n сечениях, обозначаемые как
.В теории связи наиболее широкое применение находят двумерные функции распределения
.
Во многих практических случаях для характеристики случайных процессов достаточно знать лишь его усредненные, так называемые, числовые характеристики (моментные функции). Наиболее часто используются математическое ожидание (первый начальный момент), дисперсия (второй центральный момент), ковариационная функция и корреляционная функция.
Простейшей характеристикой случайного процесса является его математическое ожидание
,
которое представляет собой неслучайную функцию времени, около которой различным образом располагаются отдельные реализации случайного процесса.
Математическое ожидание случайного процесса - сигналов электросвязи представляет собой постоянную составляющую.
Дисперсией случайного процесса называется неслучайная функция времени, значения которой для каждого момента времени равны математическому ожиданию квадрата отклонения случайного процесса от его математического ожидания
.
Дисперсия определяет степень разброса значений случайного процесса около математического ожидания.
Применительно к сигналам электросвязи дисперсия является мощностью переменной составляющей на нагрузке 1 Ом и измеряется в Ваттах.
В качестве характеристики, учитывающей статистическую связь между значениями случайного процесса в различные моменты времени, используется ковариационная функция случайного процесса
,определяемая как математическое ожидание от произведения значений случайного процесса в два различных момента времени (в двух сечениях).
На практике чаще используют корреляционную функцию, которая определяется как математическое ожидание произведения центрированного случайного процесса в два различных момента времени. Центрированный процесс представляет собой только переменную составляющую.
Таким образом, числовые характеристики получаются путем усреднения соответствующей случайной величины по множеству (ансамблю) ее возможных значений. Операция усреднения по множеству обозначается прямой горизонтальной чертой сверху.
Важнейшим классом случайных процессов, встречающихся на практике, является класс стационарных случайных процессов. Случайный процесс называется стационарным в узком смысле, если его многомерная функция распределения (и, следовательно, числовые характеристики) не зависит от начала отсчета времени, т.е. от сдвига всех сечений вправо или влево на один и тот же интервал времени ∆t. При этом оказывается, что одномерная функция распределения, математическое ожидание и дисперсия вообще не зависят от времени:
,а двухмерная функция распределения и корреляционная функция, и ковариационная функция зависят только от расстояния между сечениями
:
.
Иногда случайный процесс называют стационарным в широком смысле, если приведенные условия выполняются лишь для числовых характеристик. Узкое и широкое определения стационарности не тождественны. Случайные процессы, стационарные в узком смысле, всегда стационарны в широком смысле, но не наоборот.
Если приведенные выше условия не выполняются, то случайный процесс будет нестационарным. Для нестационарного процесса плотность вероятности является функцией времени. При этом со временем могут изменяться математическое ожидание, дисперсия случайного процесса или то и другое вместе.
Среди стационарных случайных процессов очень важное значение имеют так называемые эргодические процессы, для которых статистические характеристики можно найти усреднением не только по ансамблю реализации, но и по времени одной реализации продолжительностью Т. При этом числовые характеристики, полученные по одной реализации путем усреднения по времени, с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, совпадают с соответствующими числовыми характеристиками, полученными путем усреднения по множеству (ансамблю) реализации в один момент времени. Следовательно, для эргодических процессов:
Операция усреднения по времени одной реализации обозначается волнистой линией сверху.
Существует теорема, согласно которой стационарные в узком смысле процессы при достаточно общих предположениях являются эргодическими.
Свойство эргодичности стационарных случайных процессов имеет большое практическое значение. Для таких процессов любая реализация полностью определяет свойства всего процесса в целом. Это позволяет при определении статистических характеристик случайного процесса ограничиться рассмотрением лишь одной реализации достаточно большой длительности, как это и делается в настоящей лабораторной работе при определении одномерной плотности вероятности.
