Второй закон Ньютона гласит, что производная импульса частицы (материальной точки) по времени равна результирующей силе, действующей на частицу (см. формулу (9.1)). Уравнение второго закона оказывается инвариантным относительно преобразований Лоренца, если под импульсом подразумевать величину (67.5). Следовательно, релятивистское выражение Второго закона Ньютона имеет вид

Следует иметь в виду, что соотношение в релятивистском случае неприменимо, причем ускорение w и сила F, вообще говоря, оказываются неколлинеарными.

Заметим, что импульс, ни сила не являются инвариантными величинами. Формулы преобразования компонент импульса при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой будут получены в следующем параграфе. Формулы преобразования компонент силы мы дадим без. вывода:

( скорость частицы в системе К). Если в системе К действующая на частицу сила F перпендикулярна к скорости частицы V, скалярное произведение FV равно нулю и первая из формул (68.2) упрощается следующим образом:

Чтобы найти релятивистское выражение для энергии, поступим так же, как мы поступили в § 19. Умножим уравнение (68.1) на перемещение частицы . В результате получим

Правая часть этого соотношения дает работу совершаемую над частицей за время . В § 19 было показано, что работа результирующей всех сил идет на приращение кинетической энергии частицы (см. формулу ). Следовательно, левая часть соотношения должна быть истолкована как приращение кинетической энергий Т частицы за время . Таким образом,

Преобразуем полученное выражение, приняв во внимание, что (см. (2.54)):

Интегрирование полученного соотношения дает

(68.4)

По смыслу кинетической энергии она должна обращаться в нуль при Отсюда для константы получается значение, равное Следовательно, релятивистское выражение для кинетической энергии частицы имеет вид

В случае малых скоростей формулу (68.5) можно преобразовать следующим образом:

Мы пришли к ньютоновскому выражению для кинетической энергии частицы. Этого и следовало ожидать, поскольку при скоростях, много меньших скорости света, все формулы релятивистской механики должны переходить в соответствующие формулы ньютоновской механики.

Рассмотрим свободную частицу (т. е. частицу, не подверженную действию внешних сил), движущуюся со скоростью v. Мы выяснили, что эта частица обладает кинетической энергией, определяемой формулой (68.5). Однако имеются основания (см. ниже) приписать свободной частице, кроме кинетической энергии (68.5), дополнительную энергию, равную

Таким образом, полная энергия свободной частицы определяется выражением . Приняв во внимание (68.5), получим, что

При выражение (68.7) переходит в (68.6). Поэтому называют энергией покоя. Эта энергия представляет собой внутреннюю энергию частицы, не связанную с движением частицы как целого.

Формулы (68.6) и (68.7) справедливы не только для элементарной частицы, но и для сложного тела, состоящего из многих частиц. Энергия такого тела содержит в себе, помимо энергий покоя входящих в его состав частиц также кинетическую энергию частиц (обусловленную их движением относительно центра масс тела) энергию их взаимодействия друг с другом. В энергию покоя, как и в полную энергию (68.7), не входит потенциальная энергия тела во внешнем силовом поле.

Исключив из уравнений (67.5) и (68.7) скорость v (уравнение. (67.5) нужно взять в скалярном виде), получим выражение полной энергии частицы через импульс р:

В случае, когда эту формулу можно представить в виде

Полученное выражение отличается от ньютоновского выражения для кинетической энергии слагаемым

Заметим, что из сопоставления выражений (67.5): и (68.7) вытекает формула

Поясним, почему свободной частице следует приписывать энергию (68.7), а не только кинетическую энергию (68.5). Энергия по своему смыслу должна быть сохраняющейся величиной. Соответствующее рассмотрение показывает, что при столкновениях частиц сохраняется сумма (по частицам) выражений вида (68.7), в то время как сумма выражений (68.5) оказывается несохраняющейся. Невозможно удовлетворить требованию сохранения энергии во всех инерциальных системах отсчета, если не учитывать энергию покоя (68.6) в составе полной энергии.

Кроме того, из выражения (68.7) для энергии и выражения (67.5) для импульса удается образовать инвариант, т. е. величину, не изменяющуюся при преобразованиях Лоренца. Действительно, из формулы (68.8) вытекает, что

(68.11)

(напомним, что масса m и скорость с являются инвариантными величинами). Эксперименты над быстрыми частицами подтверждают инвариантность величины (68.11)

Если под Е в (68.11) понимать кинетическую энергию (68.5), выражение (68.11) оказывается не инвариантным.

Получим еще одно выражение для релятивистской энергии. Из формулы (64.3) следует, что

где промежуток времени между двумя происходящими с частицей событиями, отсчитанный по часам той системы отсчета, относительно которой частица движется со скоростью - тот же промежуток времени, отсчитанный по часам, движущимся вместе с частицей (промежуток собственного времени). Подставив (68.12) в формулу (68.7), получим выражение

(68.13)

Этой формулой мы воспользуемся в следующем параграфе.

Теория относительности требует пересмотра и уточнения законов механики. Как мы видели, уравнения классической динамики (второй закон Ньютона) удовлетворяют принципу относительности в отношении преобразований Галилея. Но ведь преобразования Галилея должны быть заменены преобразованиями Лоренца! Поэтому уравнения динамики следует изменить так, чтобы они оставались неизменными при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой согласно преобразованиям Лоренца. При малых скоростях уравнения релятивистской динамики должны переходить в классические, ибо в этой области их справедливость подтверждается на опыте.

Импульс и энергия. В теории относительности, как и в классической механике, для замкнутой физической системы сохраняются импульс и энергия Е, однако релятивистские выражения для них отличаются от соответствующих классических:

здесь - масса частицы. Это масса в той системе отсчета, где частица покоится. Часто ее называют массой покоя частицы. Она совпадает с массой частицы в нерелятивистской механике.

Можно показать, что выражаемая формулами (1) зависимость импульса и энергии частицы от ее скорости в теории относительности с неизбежностью следует из релятивистского эффекта замедления времени в движущейся системе отсчета. Это будет сделано ниже.

Релятивистские энергия и импульс (1) удовлетворяют уравнениям, аналогичным соответствующим уравнениям классической механики:

Релятивистская масса. Иногда коэффициент пропорциональности в (1) между скоростью частицы и ее импульсом

называют релятивистской массой частицы. С ее помощью выражения (1) для импульса и энергии частицы можно записать в компактном виде

Если релятивистской частице, т. е. частице, движущейся со скоростью, близкой к скорости света, сообщить дополнительную энергию, чтобы увеличить ее импульс, то скорость ее при этом увеличится очень незначительно. Можно сказать, что энергия частицы и ее импульс увеличиваются теперь за счет роста ее релятивистской массы. Этот эффект наблюдается в работе ускорителей заряженных частиц высоких энергий и служит наиболее убедительным экспериментальным подтверждением теории относительности.

Энергия покоя. Самое замечательное в формуле заключается в том, что покоящееся тело обладает энергией: полагая в получаем

Энергию называют энергией покоя.

Кинетическая энергия. Кинетическая энергия частицы в некоторой системе отсчета определяется как разность между ее полной энергией и энергией покоя С помощью (1) имеем

Если скорость частицы мала по сравнению со скоростью света, формула (6) переходит в обычное выражение для кинетической энергии частицы в нерелятивистской физике.

Различие между классическим и релятивистским выражениями для кинетической энергии становится особенно существенным, когда скорость частицы приближается к скорости света. При релятивистская кинетическая энергия (6) неограниченно возрастает: частица, обладающая отличной от нуля массой покоя и

Рис. 10. Зависимость кинетической энергии тела от скорости

движущаяся со скоростью света, должна была бы иметь бесконечную кинетическую энергию. Зависимость кинетической энергии от скорости частицы показана на рис. 10.

Пропорциональность массы и энергии. Из формулы (6) следует, что при разгоне тела приращение кинетической энергии сопровождается пропорциональным приращением его релятивистской массы. Вспомним, что важнейшим свойством энергии является ее способность превращаться из одной формы в другую в эквивалентных количествах при различных физических процессах - именно в этом заключается содержание закона сохранения энергии. Поэтому естественно ожидать, что возрастание релятивистской массы тела будет происходить не только при сообщении ему кинетической энергии, но и при любом другом увеличении энергии тела независимо от конкретного вида энергии. Отсюда можно сделать фундаментальное заключение о том, что полная энергия тела пропорциональна его релятивистской массе независимо от того, из каких конкретных видов энергии она состоит.

Поясним сказанное на следующем простом примере. Рассмотрим неупругое столкновение двух одинаковых тел, движущихся навстречу друг другу с одинаковыми скоростями, так что в результате столкновения образуется одно тело, которое покоится (рис. 11а).

Рис. 11. Неупругое столкновение, наблюдаемое в разных системах отсчета

Пусть скорость каждого из тел до столкновения равна а масса покоя Массу покоя образовавшегося тела обозначим через Теперь рассмотрим это же столкновение с точки зрения наблюдателя в другой системе отсчета К, движущейся относительно исходной системы К влево (рис. 11б) с малой (нерелятивистской) скоростью -и.

Так как то для преобразования скорости при переходе от К к К можно использовать классический закон сложения скоростей. Закон сохранения импульса требует, чтобы полный импульс тел до столкновения был равен импульсу образовавшегося тела. До столкновения полный импульс системы равен где релятивистская масса сталкивающихся тел; после столкновения он равен ибо вследствие массу образовавшегося тела и в К можно считать равной массе покоя. Таким образом, из закона сохранения импульса следует, что масса покоя образовавшегося в результате неупругого соударения тела равна сумме релятивистских масс сталкивающихся частиц, т. е. она больше, чем сумма масс покоя исходных частиц:

Рассмотренный пример неупругого соударения двух тел, при котором происходит превращение кинетической энергии во внутреннюю энергию, показывает, что увеличение внутренней энергии тела также сопровождается пропорциональным увеличением массы. Этот вывод должен быть распространен на все виды энергии: нагретое тело имеет большую массу, чем холодное, сжатая пружина имеет большую массу, чем несжатая, и т. п.

Эквивалентность энергии и массы. Закон пропорциональности массы и энергии является одним из самых замечательных выводов теории относительности. Взаимосвязь массы и энергии заслуживает подробного обсуждения.

В классической механике масса тела есть физическая величина, являющаяся количественной характеристикой его инертных свойств, т. е. мера инертности. Это инертная масса. С другой стороны, масса характеризует способность тела создавать поле тяготения и испытывать силу в поле тяготения. Это тяготеющая, или гравитационная, масса. Инертность и способность к гравитационным взаимодействиям представляют собой совершенно различные проявления свойств материи. Однако то, что меры этих различных проявлений обозначаются одним и тем же словом, не случайно, а обусловлено тем, что оба свойства всегда существуют совместно и всегда друг другу пропорциональны, так что меры этих свойств можно выражать одним и тем же числом при надлежащем выборе единиц измерения.

Равенство инертной и гравитационной масс есть экспериментальный факт, подтвержденный с огромной степенью точности в опытах Этвеша, Дикке и др. Как же следует отвечать на вопрос: есть ли масса инертная и масса гравитационная одно и то же или нет? По своим проявлениям они различны, но их числовые характеристики пропорциональны друг другу. Такое положение вещей характеризуют словом «эквивалентность».

Аналогичный вопрос возникает в связи с понятиями массы покоя и энергии покоя в теории относительности. Проявления свойств материи, соответствующих массе и энергии, бесспорно различны. Но теория относительности утверждает, что эти свойства неразрывно связаны, пропорциональны друг другу. Поэтому в этом смысле можно говорить об эквивалентности массы покоя и энергии покоя. Выражающее эту эквивалентность соотношение (5) называется формулой Эйнштейна. Она означает, что всякое изменение энергии системы сопровождается эквивалентным изменением ее массы. Это относится к изменениям различных видов внутренней энергии, при которых масса покоя меняется.

О законе сохранения массы. Опыт показывает нам, что в громадном большинстве физических процессов, в которых изменяется внутренняя энергия, масса покоя остается неизменной. Как это согласовать с законом пропорциональности массы и энергии? Дело в том, что обычно подавляющая часть внутренней энергии (и соответствующей ей массы покоя) в превращениях не участвует и в результате оказывается, что определяемая из взвешивания масса практически сохраняется, несмотря на то, что тело выделяет или поглощает энергию. Это объясняется просто недостаточной точностью взвешивания. Для иллюстрации рассмотрим несколько численных примеров.

1. Энергия, высвобождающаяся при сгорании нефти, при взрыве динамита и при других химических превращениях, представляется нам в масштабах повседневного опыта громадной. Однако если перевести ее величину на язык эквивалентной массы, то окажется, что эта масса не составляет и полной величины массы покоя. Например, при соединении водорода с кислорода выделяется около энергии. Масса покоя образовавшейся воды на меньше массы исходных веществ. Такое изменение массы слишком мало для того, чтобы его можно было обнаружить с помощью современных приборов.

2. При неупругом столкновении двух частиц по разогнанных навстречу друг другу до скорости добавочная масса покоя слипшейся пары составляет

(При такой скорости можно пользоваться нерелятивистским выражением для кинетической энергии.) Эта величина намного меньше погрешности, с которой может быть измерена масса

Масса покоя и квантовые закономерности. Естественно задать вопрос: почему при обычных условиях подавляющая часть энергии находится в совершенно пассивном состоянии и в превращениях не участвует? На этот вопрос теория относительности не может дать ответа. Ответ следует искать в области квантовых закономерностей,

одной из характерных особенностей которых является существование устойчивых состояний с дискретными уровнями энергии.

Для элементарных частиц энергия, соответствующая массе покоя, либо превращается в активную форму (излучение) целиком, либо вовсе не превращается. Примером может служить превращение пары электрон-позитрон в гамма-излучение.

У атомов подавляющая часть массы находится в форме массы покоя элементарных частиц, которая в химических реакциях не изменяется. Даже в ядерных реакциях энергия, соответствующая массе покоя тяжелых частиц (нуклонов), входящих в состав ядер, остается пассивной. Но здесь активная часть энергии, т. е. энергия взаимодействия нуклонов, составляет уже заметную долю энергии покоя.

Таким образом, экспериментальное подтверждение релятивистского закона пропорциональности энергии покоя и массы покоя следует искать в мире физики элементарных частиц и ядерной физики. Например, в ядерных реакциях, идущих с выделением энергии, масса покоя конечных продуктов меньше массы покоя ядер, вступающих в реакцию. Соответствующая этому изменению массы энергия с хорошей точностью совпадает с измеренной на опыте кинетической энергией образующихся частиц.

Как импульс и энергия частицы зависят от ее скорости в релятивистской механике?

Какая физическая величина называется массой частицы? Что такое масса покоя? Что такое релятивистская масса?

Покажите, что релятивистское выражение (6) для кинетической энергии переходит в обычное классическое при .

Что такое энергия покоя? В чем заключается принципиальное отличие релятивистского выражения для энергии тела от соответствующего классического?

В каких физических явлениях обнаруживает себя энергия покоя?

Как понимать утверждение об эквивалентности массы и энергии? Приведите примеры проявления этой эквивалентности.

Сохраняется ли масса вещества при химических превращениях?

Вывод выражения для импульса. Дадим обоснование формул (1), приведенных выше без доказательства, анализируя простой мысленный опыт. Для выяснения зависимости импульса частицы от скорости рассмотрим картину абсолютно упругого «скользящего» столкновения двух одинаковых частиц. В системе центра масс это столкновение имеет вид, показанный на рис. 12а: до столкновения частицы У и 2 движутся навстречу друг другу с одинаковыми по модулю скоростями, после столкновения частицы разлетаются в противоположные стороны с такими же по модулю скоростями, как и до столкновения. Другими словами,

при столкновении происходит только поворот векторов скоростей каждой из частиц на один и тот же небольшой угол

Как будет выглядеть это же столкновение в других системах отсчета? Направим ось х вдоль биссектрисы угла и введем систему отсчета К, движущуюся вдоль оси х относительно системы центра масс со скоростью, равной х-составляющей скорости частицы 1. В этой системе отсчета картина столкновения выгладит так, как показано на рис. 12б: частица 1 движется параллельно оси у, изменив при столкновении направление скорости и импульса на противоположное.

Сохранение х-составляющей полного импульса системы частиц при столкновении выражается соотношением

где - импульсы частиц после столкновения. Так как (рис. 126), требование сохранения импульса означает равенство х-составляющих импульса частиц 1 и 2 в системе отсчета К:

Теперь, наряду с К, введем в рассмотрение систему отсчета К, которая движется относительно системы центра масс со скоростью, равной х-составляющей скорости частицы 2.

Рис. 12. К выводу зависимости массы тела от скорости

В этой системе частица 2 до и после столкновения движется параллельно оси у (рис. 12в). Применяя закон сохранения импульса, убеждаемся, что в этой системе отсчета, как и в системе К, имеет место равенство -составляющих импульса частиц

Но из симметрии картин столкновения на рис. 12б,в легко сделать вывод о том, что модуль импульса частицы 1 в системе К равен модулю импульса частицы 2 в системе отсчета поэтому

Сопоставляя два последних равенства, находим т. е. у-составляющая импульса частицы 1 одинакова в системах отсчета К и К. Точно так же находим Другими словами, у-составляющая импульса любой частицы, перпендикулярная направлению относительной скорости систем отсчета, одинакова в этих системах. В этом и заключается главный вывод из рассмотренного мысленного эксперимента.

Но у-составляющая скорости частицы имеет различное значение в системах отсчета К и К. Согласно формулам преобразования скорости

где есть скорость системы К относительно К. Таким образом, в К у-составляющая скорости частицы 1 меньше, чем в К.

Это уменьшение у-составляющей скорости частицы 1 при переходе от К к К непосредственно связано с релятивистским преобразованием времени: одинаковое в К и К расстояние между штриховыми линиями А и В (рис. 12б, в) частица 1 в системе К проходит за большее время, чем в К. Если в К это время равно (собственное время, так как оба события - пересечение штрихов А и В - происходят в К при одном и том же значении координаты то в системе К это время больше и равно

Вспоминая теперь, что у-составляющая импульса частицы 1 одинакова в системах К и К, мы видим, что в системе К, где у-составляющая скорости частицы меньше, этой частице нужно приписать как бы ббльшую массу, если под массой понимать, как и в нерелятивистской физике, коэффициент пропорциональности между скоростью и импульсом. Как уже отмечалось, этот коэффициент называют иногда релятивистской массой. Релятивистская масса частицы зависит от системы отсчета, т. е. является величиной относительной. В той системе отсчета, где скорость частицы много меньше скорости света, для связи между скоростью и импульсом частицы справедливо обычное классическое выражение где есть масса частицы в том смысле, как она понимается в нерелятивистской физике (масса покоя). между скоростью и импульсом. Из приведенного вывода ясно, что это возрастание релятивистской массы, вызванное движением системы отсчета, действительно связано с релятивистским кинематическим эффектом замедления времени.

Возвращаясь к рис. 12, вспомним, что был рассмотрен случай скользящего столкновения, когда составляющая скорости частицы вдоль оси у была много меньше составляющей ее скорости вдоль оси х. В этом предельном случае входящая в полученную формулу относительная скорость систем К и к практически совпадает со скоростью частицы 1 в системе К. Поэтому найденное значение коэффициента пропорциональности между у-составляющими векторов скорости и импульса справедливо и для самих векторов. Таким образом, соотношение (3) доказано.

Вывод выражения для энергии. Выясним теперь, к каким изменениям в выражении для энергии частицы приводит формула для релятивистского импульса.

В релятивистской механике сила вводится таким образом, чтобы соотношение между приращением импульса частицы Др и импульсом силы было таким же, как и в классической физике:

Как с помощью мысленного эксперимента можно показать, что составляющая импульса частицы, перпендикулярная направлению относительной скорости двух систем отсчета, одинакова в обеих этих системах? Какую роль при этом играют соображения симметрии?

Поясните связь зависимости релятивистской массы частицы от ее скорости с релятивистским кинематическим эффектом замедления времени.

Каким образом можно прийти к релятивистской формуле для кинетической энергии, основываясь на пропорциональности между приращениями кинетической энергии и релятивистской массы?

Кинетическая энергия системы частиц.

Приращение кинетической энергии каждой частицы равно работе всех сил, действующих на частицу: ΔK i = A i . Поэтому работу A, которую совершают все силы, дей­ствующие на все частицы системы, при изменении ее состоя­ния, можно записать так: К , или

(1.6.9)

где K - суммарная кинетическая энергия системы.

Итак, приращение кинетической энергии системы равно ра­боте, которую совершают все силы, действующие на все час­тицы системы:

Заметим, что кинетическая энергия системы - величина ад­дитивная: она равна сумме кинетических энергий отдельных частей системы независимо от того, взаимодействуют они меж­ду собой или нет.

Уравнение (1.6.10) справедливо как в инерциальных, так и в неинерциальных системах отсчета. Следует только помнить, что в неинерциальных системах отсчета кроме работ сил взаи­модействия необходимо учитывать и работу сил инерции.

Теперь установим связь между кинетическими энергиями системы частиц в разных системах отсчета. Пусть в неподвижной системе отсчета кинетическая энергия инте­ресующей нас системы частиц равна К. Скорость i-ой частицы в этой системе можно представить как, , где - скорость этой ча­стицы в движущейся системе отсчета, a -скорость движущейся системы относительно неподвижной системы отсчета. Тогда кинетическая энергия системы

Где - энергия в движущейся системе, т – масса всей системы частиц, - ее импульс в движущейся системе отсчета.

Если движущаяся система отсчета связана с центром масс (Ц-система), то центр масс покоится, а значит последнее слагаемое равно нулю и предыдущее выражение примет вид

, (1.6.11)

где - суммарная кинетическая энергия частиц в Ц-системе, называемая собственной кинетической энергией системы частиц

Таким образом, кинетическая энергия системы частиц складывается из собственной кинетической энергии и кинетической энергии, связанной с движением систе­мы частиц как целого. Это важный вывод, и он неоднократно будет использоваться в дальнейшем (в частности, при изучении динамики твердого тела).

Из формулы (1.6.11) следует, что кинетическая энергия сис­темы, частиц минимальна в Ц-системе. В этом еще одна осо­бенность Ц-системы.

Работа консервативных сил.

Воспользовавшись формулой (1.6.2) и

графическим способом определения работы,

рассчитаем работу некоторых сил.

1.Работа, совершаемая силой тяжести

Сила тяжести направлена

вертикально вниз. Выберем ось z ,

направленную вертикально вверх и

спроецируем на нее силу .

Построим график

зависимости от z (рис.1.6.3). Работа силы тяжести

при перемещении частицы из точки с координатой в точку с координатой равна площади прямоугольника

Как видно из полученного выражения работа силы тяжести равна изменению некоторой величины, не зависящей от траектории частицы и определенной с точностью до произвольной постоянной

2.Работа силы упругости.

Проекция силы упругости на ось х, указывающую направление деформации,

где х – величина деформации, отсчитываемая

от недеформированного состояния.

График этой функции от величины

деформации х приведен на рис.1.6.4.

Тогда работа силы упругости при

изменении деформации от до

Полная энергия релятивистской частицы определяется как

где – масса частицы, – ее скорость. Полная энергия в разных системах отсчета различна.

Энергия покоящегося тела (при )

Классическая механика энергию покоя не учитывает, считая, что при энергия покоящегося тела равна нулю.

Закон сохранения энергии в релятивистской механике гласит, что полная энергия замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.

Кинетическая энергия тела определяется формулой

, (5.26)

поскольку полная энергия в релятивистской динамике - это сумма кинетической энергии и энергии покоя.

Из формул (5.22) и (5.24) легко получить выражение, связывающее энергию и импульс:

Отсюда получим

. (5.28)

Учитывая, что , отсюда получим

. (5.29)

Контрольные вопросы

1. Какие принципы лежат в основе специальной теории относительности?

2. Как связаны друг с другом преобразования Галилея и преобразования Лоренца?

3. Какие вы знаете инвариантные величины?

4. Напишите формулу, выражающую импульс частицы через ее энергию и скорость.

5. Напишите формулу, выражающую энергию частицы через ее импульс.

6. Что характерно для частиц с нулевой массой?

7. Соблюдается ли закон сохранения импульса в специальной теории относительности?

1. Во сколько раз замедляется ход времени при скорости движения часов u = 240 000 км/с?

2. Найти относительную скорость двух частиц, движущихся навстречу друг другу со скоростью u = c /2.

3. Написать выражение для полной энергии частицы, ее кинетической энергии, энергии покоя, импульса частицы. Каким соотношением связаны энергии и импульс релятивистской частицы?

4. В ходе эксперимента были определены импульс и энергия частицы. Найти ее скорость и массу.

5. Электрон начинает ускоряться в однородном электрическом поле, напряженность которого направлена вдоль оси x . Нарисовать качественно графики зависимости от x : а) полной E и кинетической К энергий электрона; б) импульса электрона; в) скорости электрона.

6. Почему при u =c преобразования Лоренца теряют смысл?

7. Может ли при аннигиляции электрона (q= - e ) и позитрона (q=+e ) образоваться один фотон? Ответ обосновать с помощью законов сохранения энергии и импульса.

В специальной теории относительности рассматриваются только инерциальные системы отсчета. Во всех задачах считается, что оси у, у" и z, z" сонаправлены, а относительная скорость υ 0 системы ко­ординат К" относительно системы К нап­равлена вдоль общей оси хх" (рис. 5 .1).

Релятивистское (лоренцево) сок­ращение длины стержня

Релятивистское замедление хода часов

где Δt 0 - интервал времени между двумя событиями, происходя­щими в одной точке системы K", измеренный по часам этой системы (собственное время движущихся часов); Δt - интервал времени между двумя событиями, измеренный по часам системы K.

Релятивистское сложение скоростей

где υ" - относительная скорость (скорость тела относительно си­стемы K"); υ 0 - переносная скорость (скорость системы K" относи­тельно К), υ0 - абсолютная скорость (скорость тела относительно системы К).

В теории относительности абсолютной скоростью называется скорость тела в системе координат, условно принятой за непод­вижную.

Релятивистская масса

где т 0 - масса покоя; β - скорость частицы, выраженная в долях скорости света

Релятивистский импульс

, или

Полная энергия релятивистской частицы

где Т - кинетическая энергия частицы; - ее энергия покоя. Частица называется релятивистской, если скорость частицы сравнима со скоростью света, и классической, если υ<<с.

Связь полной энергии с импульсом релятивистской частицы

Связь кинетической энергии с импульсом релятивистской частицы

Примеры решения задач

Пример 1. Космический корабль движется со скоростью υ=0,9 с по направлению к центру Земли. Какое расстояние l прой­дет этот корабль в системе отсчета, связанной с Землей (K-система), за интервал времени Δt 0 =1 с, отсчитанный по часам, находя­щимся в космическом корабле (K"-система)? Суточным вращением Земли и ее орбитальным движением вокруг Солнца пренебречь.

Решение. Расстояние l , которое пройдет космический ко­рабль в системе отсчета, связанной с Землей (K-система), определим по формуле

(1)
где -интервал времени, отсчитанный в K -системе отсчета.
Этот интервал времени связан с интервалом времени, отсчитан­
ным в K "-системе, соотношением Подставив
выражение в формулу (1), получим

После вычислений найдем

l =619 Мм.

Решение. Пусть в K "-системе стержень лежит в плоскости х"О"у". Из рис. 5 .2, а следует, что собственная длина l 0 стержня и угол φ 0 , который он составляет с осью х", выразятся равенствами

В K -системе те же величины окажутся равными (рис. 5 .2, б)

Заметим, что при переходе от системы К." к К размеры стержня в направлении оси у не изменятся, а в направлении оси х претерпят релятивистское (лоренцево) сокращение, т. е.

С учетом последних соотношений собственная длина стержня выразится равенством

Заменив в этом выражении на (рис. 5 .2, б), получим

Подставив значения величин в это выражение и произведя
вычисления, найдем

l 0 =15 (3 м.

Для определения угла воспользуемся соотношениями (1), (2) и (3):

Подставив значения φ и β в это выражение и произведя вычисле­ния, получим

Пример 3. Кинетическая энергия Т электрона равна 1 МэВ. Определить скорость электрона.

Решение. Релятивистская формула кинетической энергии

Выполнив относительно β преобразования, найдем скорость час­тицы, выраженную в долях скорости света (β =υ /c ):

(1)

где E 0 - энергия покоя электрона (см. табл. 22).

Вычисления по этой формуле можно производить в любых еди­ницах энергии, так как наименования единиц в правой части формул сократятся и в результате подсчета будет получено отвлеченное число.

Подставив числовые значения Е 0 и Т в мега электрон-вольтах, получим

β =0,941.
Так как , то

υ = 2,82-10 8 м/с.

Чтобы определить, является ли частица с кинетической энергией Т релятивистской или классической, достаточно сравнить кинети­ческую энергию частицы с ее энергией покоя.

Пример 4. Определить релятивистский импульс р и кинетическую энергию Т электрона, движущегося со скоростью υ =0,9 с (где с - скорость света в вакууме).

Решение. Релятивистский импульс

(1)

После вычисления по формуле (1) получим

В релятивистской механике кинетическая энергия Т частицы определяется как разность между полной энергией E и энергией покоя Е 0 этой частицы, т. е.

Так как и , то, учитывая зависимость массы от
скорости, получим

или окончательно

(2)

Сделав вычисления, найдем

T =106 фДж.

Во внесистемных единицах энергия покоя электрона m 0 с 2 =0,5 1 МэВ. Подставив это значение в формулу (2), получим

Т =0,66 МэВ.

Пример 5. Релятивистская частица с кинетической энергией T =т 0 c 2 (m 0 - масса покоя частицы) испытывает неупругое столк­новение с такой же покоящейся (в лабораторной системе отсчета) частицей. При этом образуется составная частица. Определить: 1) релятивистскую массу т движущейся частицы; 2) релятивистскую массу т" и массу покоя m 0 " составной частицы; 3) ее кинетическую энергию Т".

Решение. 1. Релятивистскую массу m движущейся частицы
до столкновения найдем из выражения для кинетической энергии
релятивистской частицы . Так как , то m =
=2т 0 .

2. Для того чтобы найти релятивистскую массу составной части­цы, воспользуемся тем, что суммарная релятивистская масса частиц сохраняется *: m+m 0 =m", где т +т 0 - суммарная релятивистская масса частиц до столкновения; т" - релятивистская масса состав­ной частицы. Так как т-2т 0 , то

Массу покоя m 0 " составной частицы найдем из соотношения

(1)
Скорость υ" составной частицы (она совпадает со скоростью V c центра масс в лабораторной системе отсчета) можно найти из закона сохранения импульса р=р", где р- импульс релятивистской частицы до столкновения; р" - импульс составной релятивистской частицы. Выразим р через кинетическую энергию Т:

Так как , то

Релятивистский импульс . Учитывая, что ,
закон сохранения импульса можно записать в виде ,
откуда

Подставив выражения υ" и т" в формулу (I), найдем массу покоя составной частицы:

3. Кинетическую энергию Т" составной релятивистской частицы найдем как разность полной энергии т"с 2 и энергии покоя т 0 "с 2 составной частицы:

Подставив выражения т" и m 0 ", получим

· Этот закон см., например, в кн.: Савельев И. В. Куре общей физики.

М., 1977. Т. I, §70.

Релятивистское изменение длин

и интервалов времени

5.1. Предположим, что мы можем измерить длину стержня с точ­ностью Δl =0,1 мкм. При какой относительной скорости и двух инерциальных систем отсчета можно было бы обнаружить реляти­вистское сокращение длины стержня, собственная длина l 0 которого равна 1 м?

5 .2. Двое часов после синхронизации были помещены в системы координат К и К", движущиеся друг относительно друга. При какой скорости и их относительного движения возможно обнару­жить релятивистское замедление хода часов, если собственная дли­тельность τ0 измеряемого промежутка времени составляет 1 с? Измерение времени производится с точностью Δτ=10 пс.

5 .3. На космическом корабле-спутнике находятся часы, синхро­низированные до полета с земными. Скорость υ 0 спутника составля­ет 7,9 км/с. На сколько отстанут часы на спутнике по измерениям земного наблюдателя по своим часам за время τ 0 =0,5 года?

5 .4. Фотонная ракета движется относительно Земли со скоро­стью υ=0,6 с. Во сколько раз замедлится ход времени в ракете с точки зрения земного наблюдателя?

5 .5 . В системе К" покоится стержень, собственная длина l 0 кото­рого равна 1 м. Стержень расположен так, что составляет угол φ 0 =45 ° с осью x" . Определить длину l стержня и угол φ в системе K, если скорость υ о системы K" относительно К равна 0,8 с.

5 .6. В системе К находится квадрат, сторона которого параллель­на оси х" . Определить угол φ между его диагоналями в системе К, если система К" движется относительно К со скоростью υ=0,95 с.

5 .7. В лабораторной системе отсчета (K-система) пи-мезон с мо­мента рождения до момента распада пролетел расстояние l =75 м. Скорость υ пи-мезона равна 0,995 с. Определить собственное время жизни τ 0 мезона.

5 .8. Собственное время жизни τ 0 мю-мезона равно 2 мкс. От точки рождения до точки распада в лабораторной системе отсчета мю-мезон пролетел расстояние l =6 км. С какой скоростью υ (в долях ско­рости света) двигался мезон?